実数倍と平行 — 大きさと向きのスケーリング

動機: 「同じ方向にどれだけ進むか」をスケールしたい

$ \vec{a} $ の「向きは保ったまま」大きさだけ変える操作が実数倍 $ k\vec{a} $ です。

実数 $ k $ とベクトル $ \vec{a} $ に対して $ k\vec{a} $ を次のように定義します：

k=1, 2, 0.5, -1 の実数倍（左）/ 平行ベクトルの条件（右）

$ k = -1 $ のとき $ (-1)\vec{a} = -\vec{a} $ が逆ベクトルです。

非零ベクトル $ \vec{a} $ と $ \vec{b} $ が平行 $ \Leftrightarrow $ $ \vec{b} $ が $ \vec{a} $ の実数倍

$$ \vec{b} \parallel \vec{a} \iff \vec{b} = k\vec{a} \text{ を満たす実数 } k \text{ が存在する} $$

注意: 零ベクトル $ \vec{0} $ は向きが定義されないため、この平行条件は非零ベクトルどうしに限ります。

$ \vec{a} = (2, -3) $ のとき：

$$ 3\vec{a} = (6,\ -9), \quad -2\vec{a} = (-4,\ 6), \quad \frac{1}{2}\vec{a} = (1,\ -\tfrac{3}{2}) $$

$ \vec{a} = (1, 2) $ に対して $ \vec{b} = (3, 6) $ が平行か？

$ \vec{b} = 3\vec{a} = 3(1, 2) = (3, 6) $ ✓ → 平行（$ k = 3 $）

$ \vec{a} = (2, 1) $, $ \vec{b} = (4, 2) $ のとき $ \vec{b} = k\vec{a} $ を満たす $ k $：

$$ (4, 2) = k(2, 1) \implies k = 2 $$

$ \vec{a} + \vec{b} = k\vec{a} $ とすると $ \vec{b} = (k-1)\vec{a} $。$ \vec{b} $ は $ \vec{a} $ の実数倍なので $ \vec{b} \parallel \vec{a} $。