位置ベクトルの考え方 — 点を式で扱う

動機: 「点の位置をベクトルで表す利点」

座標 $ (x, y) $ で点を表すと、点と点の関係を計算するとき毎回座標を使う必要があります。位置ベクトルを使うと、点の位置関係を「ベクトルの演算」で直接扱えます。

原点 O を固定し、点 P に対して $ \overrightarrow{OP} $ を P の位置ベクトルといいます。慣例として $ \overrightarrow{OP} = \vec{p} $ と書きます。

OA, OB, OP の位置ベクトル（左）/ AB = b - a の導出図（右）

「O から A へ行き（$ \vec{a} $）、そこから B へ行く（$ \overrightarrow{AB} $）」と「O から B へ行く（$ \vec{b} $）」は同じ道筋：

$$ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} $$

$$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \vec{b} - \vec{a} $$

「終点の位置ベクトル − 始点の位置ベクトル」という形です。

P が線分 AB 上にある $ \Leftrightarrow $ $ \overrightarrow{AP} = t\overrightarrow{AB} $（$ 0 \leq t \leq 1 $）

$$ \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{AB} = \vec{a} + t(\vec{b}-\vec{a}) = (1-t)\vec{a} + t\vec{b} $$

O を原点、A(2, 3), B(-1, 5) のとき：

$$ \overrightarrow{OA} = (2, 3),\quad \overrightarrow{OB} = (-1, 5) $$

$$ \overrightarrow{AB} = \vec{b}-\vec{a} = (-1-2,\ 5-3) = (-3,\ 2) $$

$$ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{9+4} = \sqrt{13} $$

$ \vec{a}=(2,1) $, $ \vec{b}=(0,4) $ のとき：

$ \vec{a}+\vec{b}=(2,5) $（終点）、AB の中点: $ \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}=(1,\frac{5}{2}) $

$ (2,5) \neq (1,\frac{5}{2}) $ → AB の中点ではない。

$ \vec{a}+\vec{b} $ は平行四辺形の対角線の終点です（AB の中点ではない）。

A の位置ベクトル $ \vec{a} $、B の位置ベクトル $ \vec{b} $ のとき、P が AB 上（$ t=\frac{1}{3} $）：

$$ \overrightarrow{OP} = \frac{2}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b} $$

（係数の和 = $ \frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1 $: 常に 1 になります）