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垂直条件 — a·b = 0 になる理由

動機: 垂直のとき内積がゼロになるのはなぜか

内積の定義 \( \vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{a}   \vec{b} \cos\theta \) から、\( \theta = 90° \) のとき \( \cos 90° = 0 \) なので：
$$ \vec{a} \perp \vec{b} \implies \vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos 90° = 0 $$

これは「公式を覚える」のではなく、定義から必然的に出る結論です。

垂直条件の証明

\( \vec{a} \neq \vec{0} \), \( \vec{b} \neq \vec{0} \) のとき：

$$ \vec{a} \perp \vec{b} \iff \theta = 90° \iff \cos\theta = 0 \iff \vec{a}\cdot\vec{b} = 0 $$

成分公式の導出 — 余弦定理を使う

垂直条件の確認（左）/ 余弦定理から成分公式を導く（右）

\( \vec{a} = (a_1, a_2) \), \( \vec{b} = (b_1, b_2) \) として、\( \vec{a}-\vec{b} \) の大きさの 2 乗に余弦定理を適用します：

$$ |\vec{a}-\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta $$

左辺を成分で計算：

$$ |\vec{a}-\vec{b}|^2 = (a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2 $$
$$ = a_1^2 - 2a_1 b_1 + b_1^2 + a_2^2 - 2a_2 b_2 + b_2^2 $$
右辺: \( \vec{a} ^2 + \vec{b} ^2 - 2 \vec{a}   \vec{b} \cos\theta = a_1^2+a_2^2 + b_1^2+b_2^2 - 2 \vec{a}   \vec{b} \cos\theta \)

両辺を等しくおくと：

$$ -2a_1 b_1 - 2a_2 b_2 = -2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta $$
$$ \therefore\quad \vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = a_1 b_1 + a_2 b_2 $$

計算例

例 1: 垂直の確認（2通りで）

\( \vec{a}=(3,1) \), \( \vec{b}=(-1,3) \) のとき：

成分公式: \( \vec{a}\cdot\vec{b} = 3\cdot(-1)+1\cdot 3 = -3+3 = 0 \)

\( \cos\theta = \frac{0}{ \vec{a}   \vec{b} } = 0 \) → \( \theta = 90° \) ✓

確認: \( \vec{a} = (3,1) \) と \( \vec{b}=(-1,3) \) は傾きが \( \frac{1}{3} \) と \( -3 \)（積 = -1）→ 垂直 ✓

例 2: 垂直なベクトルを求める

\( \vec{a}=(2,3) \) に垂直なベクトルを求めよ。

\( \vec{b}=(b_1,b_2) \) が \( \vec{a}\cdot\vec{b}=0 \) を満たすとき:

$$ 2b_1 + 3b_2 = 0 \implies b_1 = -\frac{3}{2}b_2 $$

例えば \( b_2=2 \) とすると \( \vec{b}=(-3,2) \)。確認: \( 2\cdot(-3)+3\cdot 2 = 0 \) ✓

例 3: 直角三角形の確認

O(0,0), A(4,0), B(0,3) において \( \angle AOB \) が直角か確認:

$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} = 4\cdot 0+0\cdot 3 = 0 \implies \overrightarrow{OA}\perp\overrightarrow{OB} \checkmark $$

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