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内積と図形
内積は「2つのベクトルがどれだけ同方向を向いているか」を測る量
この単元で学ぶこと
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| 内積 \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |
\vec{a} |
|
\vec{b} |
\cos\theta \) の定義が「射影の長さ × 大きさ」として自然に導かれる理由 |
- なぜ \( \vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \) か（\( \cos 90° = 0 \) より必然）
- 成分公式 \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 \) が余弦定理から導かれる理由
-
| \( |
\vec{a} + \vec{b} |
^2 = |
\vec{a} |
^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |
\vec{b} |
^2 \) の展開と余弦定理との対比 |
内積の考え方
| 内積の動機は「2つのベクトルがどれだけ同じ方向を向いているか」を数値で表したいという要求です。\( \vec{a} \) を \( \vec{b} \) の方向に射影すると長さ \( |
\vec{a} |
\cos\theta \) の成分が得られます。これに \( |
\vec{b} |
\) をかけた量が内積です。 |
\( \theta = 90° \) のとき \( \cos 90° = 0 \) なので、垂直なベクトルどうしの内積は 0 になります。これは定義から必然的に出る結論であり、「覚える公式」ではありません。
内積の成分公式 \( a_1 b_1 + a_2 b_2 \) は余弦定理を適用することで導けます。この導出を理解すると、なぜ成分の積和が角度情報を含むかが分かります。
解説記事
| 「どれだけ同方向を向いているか」という動機から \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |
\vec{a} |
|
\vec{b} |
\cos\theta \) を定義します。\( \vec{a} \) の \( \vec{b} \) 方向への射影が \( |
\vec{a} |
\cos\theta \) になる理由を図で確認します。 |
\( \cos 90° = 0 \) から \( \vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \) が必然的に導かれることを示します。成分公式 \( a_1 b_1 + a_2 b_2 \) の導出（余弦定理を使う）を確認します。
| \( \cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{ |
\vec{a} |
|
\vec{b} |
} \) でなす角を計算する手順と、\( |
\vec{a}+\vec{b} |
^2 \) の展開（余弦定理との対比）を確認します。 |
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