図形条件のベクトル式化 — 重心・平行・共線

動機: 「図形の条件を等式に翻訳する」

図形の性質（「3点が一直線上」「2直線が平行」「点が重心」）をベクトルの等式として書くことで、計算で確認・証明できます。

三角形 ABC の重心 G の位置ベクトル：

$$ \overrightarrow{OG} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3} $$

導出: 中線 AM（M は BC の中点）を 2:1 に内分する点が G：

$$ \overrightarrow{OM} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2} $$

$$ \overrightarrow{OG} = \vec{a} + \frac{2}{3}(\overrightarrow{OM}-\vec{a}) = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3} $$

重心 G の導出図（左）/ 共線条件の図（右）

P が直線 AB 上にある $ \Leftrightarrow $ $ \overrightarrow{AP} $ が $ \overrightarrow{AB} $ の実数倍

$$ \overrightarrow{OP} = (1-t)\vec{a}+t\vec{b} \quad (t\in\mathbb{R}) $$

線分 AB（$ 0 \leq t \leq 1 $）に対し、直線全体は $ t $ が全実数を動きます。

$ \overrightarrow{PQ} \parallel \overrightarrow{RS} $ $ \Leftrightarrow $ $ \overrightarrow{PQ} = k\overrightarrow{RS} $（$ k $ は実数）

A(1,0), B(0,2), C(2,1)（位置ベクトル $ \vec{a}=(1,0) $, $ \vec{b}=(0,2) $, $ \vec{c}=(2,1) $）の重心 G：

$$ \overrightarrow{OG} = \frac{(1,0)+(0,2)+(2,1)}{3} = \frac{(3,3)}{3} = (1,1) $$

確認（中線 AM, M は BC の中点）: $ M=\frac{(0,2)+(2,1)}{2}=(1,\frac{3}{2}) $

AM の 2:1 内分点: $ A+\frac{2}{3}(M-A) = (1,0)+\frac{2}{3}(0,\frac{3}{2}) = (1,1) $ ✓

$ \vec{a}=(1,0) $, $ \vec{b}=(0,1) $ で、点 P が直線 AB 上にある条件:

$$ \overrightarrow{OP} = (1-t)(1,0)+t(0,1) = (1-t,\ t) $$

P の x 座標と y 座標の和 = $ (1-t)+t = 1 $（常に 1）→ P は直線 $ x+y=1 $ 上。

三角形 OAB（O が原点）の重心 G と辺 OA の中点 M_OA を比較:

$$ \overrightarrow{OG} = \frac{\vec{0}+\vec{a}+\vec{b}}{3} = \frac{\vec{a}+\vec{b}}{3} $$

$$ M_{OA} = \frac{\vec{a}}{2} $$

$ G \neq M_{OA} $（重心は辺の中点ではなく、中線の 2:1 内分点）。