内積と図形 ／ → 垂直条件
内積の意味 — なぜ cos θ が出てくるか
動機: 「2つのベクトルがどれだけ同方向を向いているか」
2 つのベクトルが「どの程度同じ方向を向いているか」を数値で表したいとき、内積が役立ちます。
| \( \vec{a} \) を \( \vec{b} \) の方向に射影すると、長さ \( |
\vec{a} |
\cos\theta \) の成分が得られます（\( \theta \) はなす角）。この射影の長さに \( |
\vec{b} |
\) をかけた量を内積と定義します。 |
内積の定義
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \quad (0\leq\theta\leq\pi)
$$
内積の符号の意味
- \( \theta < 90° \) のとき \( \cos\theta > 0 \): 内積 \( > 0 \)（同方向寄り）
- \( \theta = 90° \) のとき \( \cos\theta = 0 \): 内積 \( = 0 \)（垂直）
- \( \theta > 90° \) のとき \( \cos\theta < 0 \): 内積 \( < 0 \)（逆方向寄り）
成分公式
\( \vec{a} = (a_1, a_2) \), \( \vec{b} = (b_1, b_2) \) のとき：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2
$$
（導出は余弦定理を使います。垂直条件 で詳しく説明します。）
計算例
例 1: 2通りの計算で確認
\( \vec{a} = (1, \sqrt{3}) \), \( \vec{b} = (2, 0) \) のとき：
成分公式: \( \vec{a}\cdot\vec{b} = 1\cdot 2 + \sqrt{3}\cdot 0 = 2 \)
| 定義: \( |
\vec{a} |
= \sqrt{1+3} = 2 \), \( |
\vec{b} |
=2 \), なす角 \( \theta = 60° \) |
$$
\vec{a}\cdot\vec{b} = 2\cdot 2\cdot\cos 60° = 4\cdot\frac{1}{2} = 2 \checkmark
$$
例 2: なす角を求める
\( \vec{a}=(1,1) \), \( \vec{b}=(1,-1) \) のとき：
$$
\vec{a}\cdot\vec{b} = 1\cdot 1+1\cdot(-1) = 0
$$
$$
\cos\theta = 0 \implies \theta = 90°
$$
例 3: 射影の長さ
\( \vec{a}=(3,0) \), \( \vec{b}=(2,2) \) で \( \vec{b} \) の \( \vec{a} \) への射影の長さ：
$$
|\vec{b}|\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|} = \frac{6+0}{3} = 2
$$
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