内分・外分 — 点の位置を比で表す

動機: 「比で引き寄せられる」点を式で表したい

線分 AB を m:n に内分する点 P は「A と B の間で m:n の比率にある」点です。A に近いほど $ \vec{a} $ の影響が大きく、B に近いほど $ \vec{b} $ の影響が大きい — これが内分点の位置ベクトルです。

$ \overrightarrow{OA}=\vec{a} $, $ \overrightarrow{OB}=\vec{b} $ のとき、AB を m:n に内分する点 P の位置ベクトル：

$$ \overrightarrow{OP} = \frac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n} $$

導出: $ \overrightarrow{AP} = \frac{m}{m+n}\overrightarrow{AB} = \frac{m}{m+n}(\vec{b}-\vec{a}) $ より：

$$ \overrightarrow{OP} = \vec{a} + \frac{m}{m+n}(\vec{b}-\vec{a}) = \frac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n} $$

内分点の比による位置（左）/ 外分点の図（右）

m = n = 1 のとき（1:1 の内分 = 中点）：

$$ \overrightarrow{OM} = \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2} $$

「A と B の平均の位置」という意味です。

AB を m:n に外分する点 Q の位置ベクトル（$ m \neq n $）：

$$ \overrightarrow{OQ} = \frac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m-n} $$

内分点の公式で n を −n に置き換えた形です。符号が変わるのは「線分の外に出る」からです。

$ \vec{a}=(1,0) $, $ \vec{b}=(5,4) $ のとき AB を 3:1 に内分する点 P と外分する点 Q：

内分: $ \overrightarrow{OP} = \frac{1\cdot\vec{a}+3\cdot\vec{b}}{4} = \frac{(1,0)+(15,12)}{4} = \frac{(16,12)}{4} = (4,3) $

外分: $ \overrightarrow{OQ} = \frac{-1\cdot\vec{a}+3\cdot\vec{b}}{2} = \frac{(-1,0)+(15,12)}{2} = \frac{(14,12)}{2} = (7,6) $

$ \overrightarrow{OA}=\vec{a} $, $ \overrightarrow{OB}=\vec{b} $ で辺 AB の中点 M：

$$ \overrightarrow{OM} = \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2} $$

$$ \overrightarrow{OP} = \frac{1\cdot\vec{0}+2\cdot\vec{a}}{3} = \frac{2}{3}\vec{a} $$

（O の位置ベクトルは $ \vec{0} $）

確認: $ \overrightarrow{OP}:\overrightarrow{PA} = \frac{2}{3}:\frac{1}{3} = 2:1 $ ✓