ベクトルとは何か — 向きと大きさをもつ量

動機: 「場所によらない移動量」を表したい

「1 km 北に進む」という情報を数で表せるでしょうか。スカラー（普通の数）では方向が表せません。そこで「向き」と「大きさ」を一緒に持つ量、ベクトルを導入します。

矢印はまさにこの 2 つの情報を持っています。矢印の向きがベクトルの向き、矢印の長さがベクトルの大きさ（長さ）です。

複数の矢印でベクトルの相等を示す図（左）/ 零ベクトル・逆ベクトルの図（右）

ベクトル $ \vec{a} $ は「どこから出発するか」に依存しない移動量です。したがって：

$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} $ の意味は「AB と CD が平行・等長・同向き」

始点の位置は関係ありません。平行四辺形 ABCD では $ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} $（向きに注意：D から C の方向）。

始点と終点が一致するベクトルを零ベクトル $ \vec{0} $ といいます。大きさが 0 なので向きは定義しません。

$$ \vec{a} + \vec{0} = \vec{a}, \quad \vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0} $$

$ \vec{a} $ と大きさが等しく向きが逆のベクトルを逆ベクトル $ -\vec{a} $ といいます。

$$ -\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA} $$

平行四辺形の性質（対辺が平行・等長）より：

$$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} $$

注意: $ \overrightarrow{CD} $ は D から C なので $ -\overrightarrow{AB} $（向きが逆）。

$ \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{CB} $ は「O から A への移動」と「C から B への移動」が同じ、つまり OA $ \parallel $ CB かつ \(

\overrightarrow{OA}

\overrightarrow{CB}

\)。したがって四角形 OACB は平行四辺形。

代入すると：

$$ -2\vec{c} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0} $$

$$ \vec{b} - \vec{c} = \vec{0} \implies \vec{b} = \vec{c} $$

確認: $ -2\vec{c} + \vec{c} + \vec{c} = (-2+1+1)\vec{c} = \vec{0} $ ✓