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なす角と長さの計算 — 内積の使い方
動機: 内積から角度・長さを引き出す
| 内積の定義 \( \vec{a}\cdot\vec{b} = |
\vec{a} |
|
\vec{b} |
\cos\theta \) を変形すると： |
$$
\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}
$$
| この式でなす角 \( \theta \) を計算できます。また \( |
\vec{a}+\vec{b} |
^2 \) を内積で展開すると余弦定理が自然に出てきます。 |
\( |\vec{a}+\vec{b}|^2 \) の展開
$$
|\vec{a}+\vec{b}|^2 = (\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b})
$$
$$
= \vec{a}\cdot\vec{a} + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{b}\cdot\vec{b}
$$
$$
= |\vec{a}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2
$$
| 余弦定理との対比: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C \) は \( |
\vec{a}-\vec{b} |
^2 = |
\vec{a} |
^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |
\vec{b} |
^2 \) と同じ形です。 |
|  |
計算例
例 1: なす角を求める
\( \vec{a}=(1,\sqrt{3}) \), \( \vec{b}=(2,0) \) のとき：
$$
\vec{a}\cdot\vec{b} = 1\cdot 2+\sqrt{3}\cdot 0 = 2
$$
$$
|\vec{a}|=\sqrt{1+3}=2,\quad |\vec{b}|=2
$$
$$
\cos\theta = \frac{2}{2\cdot 2} = \frac{1}{2} \implies \theta = 60°
$$
例 2: \( |\vec{a}+\vec{b}| \) と \( |\vec{a}-\vec{b}| \) を求める
\( \vec{a}=(3,1) \), \( \vec{b}=(1,2) \) のとき：
$$
|\vec{a}|^2 = 10,\quad |\vec{b}|^2 = 5,\quad \vec{a}\cdot\vec{b} = 3+2 = 5
$$
$$
|\vec{a}+\vec{b}|^2 = 10+2\cdot 5+5 = 25 \implies |\vec{a}+\vec{b}|=5
$$
$$
|\vec{a}-\vec{b}|^2 = 10-2\cdot 5+5 = 5 \implies |\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{5}
$$
例 3: \( |\vec{a}|=2 \), \( |\vec{b}|=3 \), \( \vec{a}\cdot\vec{b}=3 \) のとき \( |2\vec{a}-\vec{b}| \)
$$
|2\vec{a}-\vec{b}|^2 = 4|\vec{a}|^2 - 4\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2
$$
$$
= 4\cdot 4 - 4\cdot 3 + 9 = 16-12+9 = 13
$$
$$
|2\vec{a}-\vec{b}| = \sqrt{13}
$$
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