ベクトルの加法・減法 — 矢印の連結と逆方向

動機: 「移動の合成」を数式で表したい

「東に 3 km 進んでから北に 4 km 進む」と、合計の移動はどこに向かうか。この「移動の合成」がベクトルの加法です。

$ \vec{a} $ の終点から $ \vec{b} $ を出発したとき、$ \vec{a} $ の始点から $ \vec{b} $ の終点への矢印が $ \vec{a} + \vec{b} $ です。

頭尾連結の加法と平行四辺形則（左）/ OB - OA = AB の位置関係（右）

これを頭尾連結（tail-to-head）といいます。平行四辺形則（両方の始点を合わせて描く方法）と結果は同じです。

O から A へ行き（$ \overrightarrow{OA} = \vec{a} $）、そこから B へ行く（$ \overrightarrow{AB} $）と、O から B への $ \overrightarrow{OB} = \vec{b} $ と同じ道筋です：

$$ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} $$

したがって：

$$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \vec{b} - \vec{a} $$

「終点の位置 − 始点の位置」という形です。

$$ \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}) $$

$ -\vec{b} $ は $ \vec{b} $ の逆ベクトル（向きを反転）。減法は「逆ベクトルを頭尾連結する」操作です。

$ \vec{a} = (2, 3) $, $ \vec{b} = (1, -1) $ のとき：

$$ \vec{a} + \vec{b} = (2+1,\ 3+(-1)) = (3,\ 2) $$

A(1, 2), B(4, 5) のとき：

$$ \overrightarrow{AB} = (4-1,\ 5-2) = (3,\ 3) $$

「終点 − 始点」の成分差です。

$$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} = \vec{0} $$

頭尾連結で A → B → C → A と戻ってくるので零ベクトルになります。