\( \sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta \) を \( R\sin(\theta + \varphi) \) の形に変換し、\( 0 \leq \theta < 2\pi \) でのこの式の最大値・最小値と、それを取る \( \theta \) の値を求めよ。
\( \sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta \) の最大値を直接求めるのは困難ですが、\( R\sin(\theta + \varphi) \) の形にまとめると振幅 \( R \) が最大値になるため、即座に最大値・最小値が読めます。
次の図で、R と φ の決め方（左）と合成後の波の形（右）を確認しましょう。
左図から、係数 a, b を直角三角形の 2辺に見立てると R と φ が幾何的に決まることが分かります。
step 1：R を求める
step 2：合成する
加法定理の展開 \( R\sin(\theta+\varphi) = R\cos\varphi\cdot\sin\theta + R\sin\varphi\cdot\cos\theta \) と係数を比較します。
\( R = 2 \) を代入すると \( \cos\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \sin\varphi = \frac{1}{2} \) より \( \varphi = \frac{\pi}{6} \)。
よって、
step 3：最大値・最小値を求める
\( 0 \leq \theta < 2\pi \) のとき \( \frac{\pi}{6} \leq \theta + \frac{\pi}{6} < \frac{13\pi}{6} \)。
最大値：\( \sin!\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) = 1 \) のとき \( \theta + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} \) → \( \theta = \frac{\pi}{3} \)
最大値 \( = 2 \times 1 = 2 \)
最小値：\( \sin!\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) = -1 \) のとき \( \theta + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} \) → \( \theta = \frac{4\pi}{3} \)
最小値 \( = 2 \times (-1) = -2 \)
\( \tan\varphi = \frac{R\sin\varphi}{R\cos\varphi} = \frac{1}{\sqrt{3}} \) から \( \varphi = \frac{\pi}{6} \) または \( \varphi = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \) の2候補があります。\( R\cos\varphi = \sqrt{3} > 0 \) かつ \( R\sin\varphi = 1 > 0 \) から第1象限に確定するので \( \varphi = \frac{\pi}{6} \)。
φ を決める手順：
ただし \( R = \sqrt{a^2 + b^2} \)、\( \varphi \) は \( \cos\varphi = \frac{a}{R},\ \sin\varphi = \frac{b}{R} \) を満たす角。
合成すると振幅が \( R \) になるため、最大値 = \( R \)、最小値 = \( -R \) が即座に読めます。方程式・不等式への応用では次の単元で使います。
合成の計算問題（最大値・最小値・方程式への応用）を収録した解説PDFを無料で配布しています。