対称性・補角・余角の変換公式

問題

次の式を $ \theta $ の三角関数で表せ。

(1) $ \sin(\pi - \theta) $、$ \cos(\pi - \theta) $ (2) $ \sin(\pi + \theta) $、$ \cos(\pi + \theta) $ (3) $ \sin(-\theta) $、$ \cos(-\theta) $

$ \pi - \theta $, $ \pi + \theta $, $ -\theta $ などの変換は、単位円上での「角度の操作」です。それぞれが単位円上のどの対称移動に対応するかを掴めば、公式を覚えなくても座標の変化から答えが出ます。

次の図で、3種類の対称移動を確認しましょう。赤い点が P(θ)、緑の点が変換後の点です。

単位円上の3種類の対称移動：π−θ（y軸対称）、π+θ（原点対称）、−θ（x軸対称）

図から、x 座標（= cos）と y 座標（= sin）のどちらが符号反転するかが直接読み取れます。

単位円上で角度 θ の点 P の座標を $ (\cos\theta, \sin\theta) $ とします。

(1) $ \pi - \theta $：y 軸対称

角度 $ \pi - \theta $ の点は、角度 $ \theta $ の点を y 軸で折り返した点です。 → x 座標（= cos）が逆符号、y 座標（= sin）はそのまま。

$$ \sin(\pi - \theta) = \sin\theta, \quad \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta $$

(2) $ \pi + \theta $：原点対称

角度 $ \pi + \theta $ の点は、角度 $ \theta $ の点の原点対称（x, y ともに逆符号）。

$$ \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta, \quad \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta $$

(3) $ -\theta $：x 軸対称

角度 $ -\theta $ の点は、角度 $ \theta $ の点を x 軸で折り返した点。 → x 座標はそのまま、y 座標（= sin）が逆符号。

$$ \sin(-\theta) = -\sin\theta, \quad \cos(-\theta) = \cos\theta $$

$ \sin!\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\frac{\pi}{3} $ ✓

$ \cos!\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} = -\cos\frac{\pi}{4} $ ✓

「どの軸で折り返すか」を意識すれば、x 座標（cos）と y 座標（sin）のどちらが符号反転するかは自然に決まります。

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