周期と一般角

問題

次の方程式のすべての解を一般角で表せ。

(1) $ \sin\theta = \frac{1}{2} $　　(2) $ \cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

なぜ「一般角」が必要か

三角関数は周期的なので $ \sin\theta = \frac{1}{2} $ を満たす θ は無限個あります。「$ \theta = \frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6} $」と書くだけでは $ [0, 2\pi) $ の解しか表せません。周期 $ 2\pi $ を足せばすべての解をまとめて表せます。

次の図で確認しましょう。左パネルは $ [0, 2\pi) $ の2つの解、右パネルは $ [0, 4\pi) $ でさらに2つ現れる様子です。

![左：[0,2π)でのsinθ=1/2の解2つ、右：0,4π)で周期的に4つに増える様子

右図から、解は周期 $ 2\pi $ ごとに繰り返し現れることが分かります。

問題の解き方

(1) $ \sin\theta = \frac{1}{2} $

基本角の特定： $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $ より基本角は $ \frac{\pi}{6} $。

$ [0, 2\pi) $ での解： sin グラフは $ \theta = \frac{\pi}{2} $ を軸に対称なので、

$$ \theta = \frac{\pi}{6}, \quad \theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $$

一般角： 周期 $ 2\pi $ を足して

$$ \theta = \frac{\pi}{6} + 2n\pi \quad \text{または} \quad \theta = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi \quad (n \in \mathbb{Z}) $$

(2) $ \cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

基本角の特定： $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ より $ \cos\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $。基本角は $ \frac{5\pi}{6} $。

$ [0, 2\pi) $ での解： cos グラフは $ \theta = 0 $ を軸に対称なので、

$$ \theta = \frac{5\pi}{6}, \quad \theta = 2\pi - \frac{5\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} $$

一般角： cos の対称性 $ \cos\theta = \cos(-\theta) $ から

$$ \theta = \pm\frac{5\pi}{6} + 2n\pi \quad (n \in \mathbb{Z}) $$

なぜ sin の解は2つ組になるか

sin グラフは $ \theta = \frac{\pi}{2} $ を軸に対称です。水平線 $ y = k $ がこの軸と交わる角度 $ \alpha $ に対して、もう1つの交点は $ \pi - \alpha $ になります（y 軸対称性 $ \sin(\pi - \theta) = \sin\theta $ から）。

cos の場合は $ \theta = 0 $ を軸に対称なので、2つの解は $ +\alpha $ と $ -\alpha $。

まとめ

方程式	$ [0, 2\pi) $ の解	一般角
$ \sin\theta = k $（$ -1 < k < 1 $）	$ \alpha $ と $ \pi - \alpha $	$ \alpha + 2n\pi $ または $ (\pi-\alpha) + 2n\pi $
$ \cos\theta = k $（$ -1 < k < 1 $）	$ \alpha $ と $ -\alpha $（$ = 2\pi - \alpha $）	$ \pm\alpha + 2n\pi $

周期 $ 2\pi $ を足す操作が「一般角への拡張」の本質です。

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方程式	\( [0, 2\pi) \) の解	一般角
\( \sin\theta = k \)（\( -1 < k < 1 \)）	\( \alpha \) と \( \pi - \alpha \)	\( \alpha + 2n\pi \) または \( (\pi-\alpha) + 2n\pi \)
\( \cos\theta = k \)（\( -1 < k < 1 \)）	\( \alpha \) と \( -\alpha \)（\( = 2\pi - \alpha \)）	\( \pm\alpha + 2n\pi \)