\( \sin\theta = \frac{3}{5} \)、\( 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \) のとき、\( \cos\theta \) と \( \tan\theta \) を求めよ。
sin, cos, tan の3つは単位円の同じ点の座標・比から定義されているため、一方が分かれば他方も計算できます。その計算の橋渡しをするのが相互関係公式です。
3つの相互関係公式：
(3) は (1) を \( \cos^2\theta \) で割ると導けます。
step 1：\( \cos\theta \) を求める
公式 (1) より、
\( 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \) より第1象限なので \( \cos\theta > 0 \)。
step 2：\( \tan\theta \) を求める
公式 (2) より、
\( \sin^2\theta + \cos^2\theta = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1 \) ✓
\( \cos^2\theta = \frac{16}{25} \) から \( \cos\theta = \pm\frac{4}{5} \) の2候補があります。\( 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \)（第1象限）という条件があるから \( \cos\theta > 0 \) と確定できます。
象限と符号まとめ：
| 象限 | \( \sin\theta \) | \( \cos\theta \) | \( \tan\theta \) |
|---|---|---|---|
| 第1（\( 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \)） | \( + \) | \( + \) | \( + \) |
| 第2（\( \frac{\pi}{2} < \theta < \pi \)） | \( + \) | \( - \) | \( - \) |
| 第3（\( \pi < \theta < \frac{3\pi}{2} \)） | \( - \) | \( - \) | \( + \) |
| 第4（\( \frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi \)） | \( - \) | \( + \) | \( - \) |
| 公式 | 用途 |
|---|---|
| \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \) | sin から cos を求める（または逆） |
| \( \tan\theta = \sin\theta/\cos\theta \) | sin・cos が分かれば tan も求まる |
| \( 1 + \tan^2\theta = 1/\cos^2\theta \) | tan から cos を求めるとき |
相互関係公式 + 象限による符号の決定、この2ステップが sin・cos・tan の相互変換の基本手順です。
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