置換して二次不等式に帰着

問題

$ 0 \leq \theta \leq 2\pi $ のとき、$ 2\sin^2\theta - \sin\theta - 1 \geq 0 $ を解け。

なぜ置換するか

左辺は $ \sin\theta $ の二次多項式です。$ t = \sin\theta $ と置くと $ 2t^2 - t - 1 \geq 0 $ という二次不等式になり、因数分解で解けます。ただし $ t $ の解を $ \theta $ の範囲に正確に戻す必要があります。

次の図で、t の数直線での解（左）と sin グラフ上での θ の解区間（右）を確認しましょう。

$左：t軸で $ -1 \leq t \leq -1/2 $ と $ t=1 $ の解、右：sinグラフで $ \theta=\pi/2 $ と $ \theta \in [7\pi/6,11\pi/6] $ の塗りつぶし$

右図の赤い塗りつぶし部分と緑の点が解です。

問題の解き方

step 1：$ t = \sin\theta $ と置く（定義域を確認）

$ 0 \leq \theta \leq 2\pi $ のとき $ -1 \leq \sin\theta \leq 1 $、よって $ -1 \leq t \leq 1 $。

step 2：t の二次不等式を解く

$$ 2t^2 - t - 1 = (t-1)(2t+1) \geq 0 $$

$$ t \leq -\frac{1}{2} \quad \text{または} \quad t \geq 1 $$

step 3：定義域 $ -1 \leq t \leq 1 $ との共通部分をとる

$$ -1 \leq t \leq -\frac{1}{2} \quad \text{または} \quad t = 1 $$

step 4：sin グラフから $ \theta $ の範囲を読む

$ \sin\theta = 1 $：$ \theta = \frac{\pi}{2} $

$ -1 \leq \sin\theta \leq -\frac{1}{2} $（$ [0, 2\pi] $ の範囲）：

sin グラフが $ y = -\frac{1}{2} $ 以下になる区間。

境界点：$ \sin\theta = -\frac{1}{2} $ → $ \theta = \frac{7\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6} $

sin グラフが最小値 $ -1 $ を取る $ \theta = \frac{3\pi}{2} $ を含む区間：

$$ \frac{7\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{11\pi}{6} $$

答え： $ \theta = \frac{\pi}{2} $ または $ \frac{7\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{11\pi}{6} $

なぜ「定義域との共通部分」が必要か

二次不等式の解 $ t \geq 1 $ は $ -1 \leq t \leq 1 $ との共通部分で $ t = 1 $ のみになります（$ t > 1 $ は $ \sin\theta $ が取れない値）。定義域確認を怠ると $ t > 1 $ の部分を不等式に含めてしまい、対応する $ \theta $ が存在しない誤った解になります。

確認

$ \theta = \frac{3\pi}{2} $（区間内）：$ \sin\frac{3\pi}{2} = -1 $ → $ 2(1)+1-1=2 \geq 0 $ ✓

$ \theta = \pi $（区間外）：$ \sin\pi = 0 $ → $ 0 - 0 - 1 = -1 < 0 $ ✓（解でない）

まとめ

置換を使う三角不等式の解法手順：

$ t = \sin\theta $（または $ t = \cos\theta $）と置く
$ t $ の定義域（$ -1 \leq t \leq 1 $）を確認
t の二次不等式を解く
定義域との共通部分をとる
残った t の範囲から sin（または cos）グラフで θ の範囲を読む

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