\( 0 \leq \theta < 2\pi \) のとき、\( \sin\theta - \cos\theta \geq 1 \) を解け。
左辺は sin と cos の1次結合です。合成で \( \sqrt{2}\sin(\theta - \varphi) \) にまとめると、基本不等式 \( \sin(\theta - \varphi) \geq k \) に帰着します。
次の図で、合成後の変数 \( u = \theta - \frac{\pi}{4} \) の視点での解区間（左）と θ に戻した解区間（右）を確認しましょう。
右図の塗りつぶし部分が解区間 \( \frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \pi \) です。
step 1：左辺を合成する
\( R\cos\varphi = 1,\ R\sin\varphi = -1 \) より \( \cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{2}},\ \sin\varphi = -\frac{1}{\sqrt{2}} \)。
これは第4象限なので \( \varphi = -\frac{\pi}{4} \)。
step 2：基本不等式に帰着する
step 3：\( \theta - \frac{\pi}{4} \) の範囲を確認する
\( 0 \leq \theta < 2\pi \) より \( -\frac{\pi}{4} \leq \theta - \frac{\pi}{4} < \frac{7\pi}{4} \)。
step 4：この範囲で \( \sin \geq \frac{\sqrt{2}}{2} \) の区間を読む
\( \sin\varphi \geq \frac{\sqrt{2}}{2} \) の基本解：\( \frac{\pi}{4} \leq \varphi \leq \frac{3\pi}{4} \)
\( \frac{\pi}{4} \leq \theta - \frac{\pi}{4} \leq \frac{3\pi}{4} \) が範囲（\( -\frac{\pi}{4} \) 以上 \( \frac{7\pi}{4} \) 未満）内に収まることを確認 → OK
\( \theta = \frac{\pi}{2} \)：\( \sin\frac{\pi}{2} - \cos\frac{\pi}{2} = 1 - 0 = 1 \geq 1 \) ✓（境界）
\( \theta = \pi \)：\( \sin\pi - \cos\pi = 0 - (-1) = 1 \geq 1 \) ✓（境界）
\( \theta = \frac{3\pi}{4} \)：\( \sin\frac{3\pi}{4} - \cos\frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} > 1 \) ✓（内部）
合成を使う三角不等式の解法手順：
合成を使う不等式の問題を収録した解説PDFを無料で配布しています。