\( 0 \leq \theta < 2\pi \) のとき、次の不等式を解け。
(1) \( \sin\theta \geq \frac{\sqrt{3}}{2} \) (2) \( \cos\theta < -\frac{1}{2} \)
三角不等式を解くとは「sin（または cos）グラフが水平線以上（または以下）になる \( \theta \) の区間を読む」操作です。
次の図で、左は \( \sin\theta \geq \frac{\sqrt{3}}{2} \) の解の区間（塗りつぶし）、右は \( \cos\theta \leq -\frac{1}{2} \) の解の区間を示しています。
塗りつぶされた区間が解の範囲です。
方程式（= k）は交点（有限個の点）が解でしたが、不等式はグラフが水平線の上か下かの連続した区間が解になります。sin グラフは山・谷の形をしているため、\( y \geq k \) を満たす θ は山の頂上付近の区間になります。
(1) \( \sin\theta \geq \frac{\sqrt{3}}{2} \)
境界点（等号成立）： \( \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \) → \( \theta = \frac{\pi}{3},\ \frac{2\pi}{3} \)
sin グラフが \( y = \frac{\sqrt{3}}{2} \) 以上になる区間を読む：
（\( \geq \) なので境界点を含む：閉区間）
(2) \( \cos\theta < -\frac{1}{2} \)
境界点： \( \cos\theta = -\frac{1}{2} \) → \( \theta = \frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3} \)
cos グラフが \( y = -\frac{1}{2} \) より下になる区間を読む：
（\( < \) なので境界点を含まない：開区間）
(1) \( \theta = \frac{\pi}{2} \)（区間内）：\( \sin\frac{\pi}{2} = 1 \geq \frac{\sqrt{3}}{2} \) ✓
(2) \( \theta = \pi \)（区間内）：\( \cos\pi = -1 < -\frac{1}{2} \) ✓
| 不等式 | \( [0, 2\pi) \) での解の区間 |
|---|---|
| \( \sin\theta \geq k \)（\( 0 < k < 1 \)） | \( [\alpha, \pi-\alpha] \) |
| \( \sin\theta \leq k \)（\( 0 < k < 1 \)） | \( [0, \alpha] \cup [\pi-\alpha, 2\pi) \) |
| \( \cos\theta \leq k \)（\( -1 < k < 0 \)） | \( [\arccos k, 2\pi - \arccos k] \) |
グラフを描いて「塗りつぶす区間」を目で確認することが、解の正確な範囲を得る確実な方法です。
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