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グラフの振幅・周期・平行移動

問題

次のグラフの振幅・周期・位相のずれを求めよ。

(1) \( y = 3\sin 2\theta \)　　(2) \( y = -2\cos!\left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) + 1 \)

まず何を見るか

\( y = A\sin(B\theta + C) + D \) の形では、A・B・C・D の4つのパラメータがそれぞれ独立した変換を担っています。図でその効果を確認します。

次の図で、左から「振幅の変化（A）」「周期の変化（B）」「位相のずれ（C）」「垂直移動（D）」の4つを確認してください。

灰色の破線が基準の \( y = \sin\theta \)、濃青が変換後のグラフです。各パラメータが独立してグラフの「どの部分」を変えるかが一目で分かります。

なぜ A, B, C, D がそれぞれ独立に働くか

\( y = A\sin(B\theta + C) + D \) は \( y = \sin\theta \) に対して順番に変換を重ねたものです。

1. \( \sin\theta \to \sin(B\theta) \)：x 軸方向に \( \frac{1}{B} \) 倍（周期が \( \frac{1}{B} \) 倍になる）
2. \( \sin(B\theta) \to \sin(B\theta + C) \)：x 軸方向に \( -\frac{C}{B} \) シフト（位相のずれ）

3. \( \sin(B\theta+C) \to A\sin(B\theta+C) \)：y 軸方向に A 倍（振幅が \(

   A

   \) になる）

4. \( \to A\sin(B\theta+C) + D \)：y 軸方向に D シフト（中心線が \( y = D \) になる）

場合別の計算

(1) \( y = 3\sin 2\theta \)

\( A = 3,\ B = 2,\ C = 0,\ D = 0 \)

• 振幅：\(

  A

  = 3 \)（y の範囲は \( [-3, 3] \)）

• 周期：\( \frac{2\pi}{

  B

  } = \frac{2\pi}{2} = \pi \)

• 位相のずれ：なし
• 垂直移動：なし

\( y = \sin\theta \) の波が \( [0, \pi] \) の中に1回分入り、高さが3倍になった形。

(2) \( y = -2\cos!\left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) + 1 \)

\( A = -2,\ B = 1,\ C = -\frac{\pi}{3},\ D = 1 \)

• 振幅：\(

  A

  = 2 \)

• 周期：\( \frac{2\pi}{1} = 2\pi \)
• 位相のずれ：\( \theta = \frac{\pi}{3} \) だけ右にずれる（cos の最大点が \( \theta = \frac{\pi}{3} \) に）
• 垂直移動：中心線が \( y = 1 \)
• \( A < 0 \)：上下反転

\( A = -2 \) なので cos が最大値を取るところ（位相のずれ後の \( \theta = \frac{\pi}{3} \)）で \( y \) は最小になります。

まとめ

4つのパラメータを分離して読めば、複雑に見える式でも「どのグラフが何倍・何ずれているか」が見えます。

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