y = sinθ, cosθ, tanθ のグラフの形

問題

\( y = \sin\theta,\ y = \cos\theta,\ y = \tan\theta \) それぞれの周期・値域・特徴点を求め、グラフの形を説明せよ。

まず何を見るか

3つのグラフはどれも「単位円を回転するときの座標・比がどう変化するか」を展開したものです。まず図で全体の形を確認します。

次の図で、\( y = \sin\theta \)（左）・\( y = \cos\theta \)（中）・\( y = \tan\theta \)（右）の形を比べてください。

y=sinθ, cosθ, tanθ の3つのグラフを横に並べた比較図

sin と cos は滑らかな波（値域 \( [-1, 1] \)）、tan は π ごとに繰り返すが漸近線を持ちます。

なぜ sin と cos は「波」の形になるか

単位円を反時計回りに回るとき：

sin：点の y 座標が \( 0 \to 1 \to 0 \to -1 \to 0 \) と変化。これを θ に対してプロットすると波になります。
cos：点の x 座標が \( 1 \to 0 \to -1 \to 0 \to 1 \) と変化。これも波ですが、sin より \( \frac{\pi}{2} \) だけ「先にスタート」した形です。

実際、\( \cos\theta = \sin!\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) \) が成り立ちます（cos は sin を左に \( \frac{\pi}{2} \) だけ移動したもの）。

場合別の特徴

y = sinθ

性質	値
周期	\( 2\pi \)
値域	\( -1 \leq y \leq 1 \)
最大値	\( \theta = \frac{\pi}{2} + 2n\pi \) で \( y = 1 \)
最小値	\( \theta = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi \) で \( y = -1 \)
零点	\( \theta = n\pi \)（n は整数）
奇関数	\( \sin(-\theta) = -\sin\theta \)

y = cosθ

性質	値
周期	\( 2\pi \)
値域	\( -1 \leq y \leq 1 \)
最大値	\( \theta = 2n\pi \) で \( y = 1 \)
最小値	\( \theta = (2n+1)\pi \) で \( y = -1 \)
零点	\( \theta = \frac{\pi}{2} + n\pi \)
偶関数	\( \cos(-\theta) = \cos\theta \)

y = tanθ

性質	値
周期	\( \pi \)
値域	すべての実数
漸近線	\( \theta = \frac{\pi}{2} + n\pi \)
零点	\( \theta = n\pi \)
奇関数	\( \tan(-\theta) = -\tan\theta \)

なぜ tan の周期は π か

\( \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \) です。\( \theta \) が \( \pi \) 増えると sin も cos もともに符号が反転するため（\( \sin(\theta+\pi) = -\sin\theta \)、\( \cos(\theta+\pi) = -\cos\theta \)）、比 \( \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \) は変わりません。だから tan の周期は sin・cos の半分の \( \pi \) です。

まとめ

	sin	cos	tan
周期	\( 2\pi \)	\( 2\pi \)	\( \pi \)
値域	\( [-1,1] \)	\( [-1,1] \)	すべての実数
漸近線	なし	なし	\( \theta = \frac{\pi}{2} + n\pi \)
対称性	奇関数	偶関数	奇関数

sin と cos の違いは「どこをスタートにするか」（位相）だけで、形は同じ波。tan は sin を cos で割るため、cos = 0 の場所で値が発散します。

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