直角三角形での「sin = 対辺/斜辺」は鋭角（0° より大きく 90° より小さい）にしか使えません。三角関数を 90° 以上や負の角度に拡張するために、単位円（原点中心・半径 1 の円）を使います。
単位円 \( x^2 + y^2 = 1 \) 上の点 P を、x 軸正方向からの角度 θ で指定します（反時計回りが正）。
次の図で、P の x 座標が cos θ、y 座標が sin θ になる様子を確認しましょう。
点 P の座標を \( (x, y) \) とするとき、
と定義します。
直角三角形で \( \sin\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} \) でした。単位円では斜辺（= 半径）が 1 なので、
斜辺 = 1 にすることで座標がそのまま三角関数の値になります。
tan は「斜面の傾き」に対応します。原点から点 P \( (x, y) \) を結ぶ直線の傾きは \( \frac{y}{x} \) です。これが \( \tan\theta \) です。\( x = 0 \)（\( \theta = \frac{\pi}{2} \) など）では傾きが定義できないため、tan は定義されません。
| \( \theta \) | \( 0 \) | \( \frac{\pi}{6} \) | \( \frac{\pi}{4} \) | \( \frac{\pi}{3} \) | \( \frac{\pi}{2} \) |
|---|---|---|---|---|---|
| \( \sin\theta \) | \( 0 \) | \( \frac{1}{2} \) | \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( 1 \) |
| \( \cos\theta \) | \( 1 \) | \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \frac{1}{2} \) | \( 0 \) |
| \( \tan\theta \) | \( 0 \) | \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) | \( 1 \) | \( \sqrt{3} \) | 定義なし |
これらは 30°-60°-90°（辺比 \( 1:2:\sqrt{3} \)）と 45°-45°-90°（辺比 \( 1:1:\sqrt{2} \)）の直角三角形から読み取れます。
単位円の方程式 \( x^2 + y^2 = 1 \) に \( x = \cos\theta,\ y = \sin\theta \) を代入すると、
これが「相互関係の第1公式」の由来です。単位円の定義から自動的に導かれます。
\( \theta = \frac{2\pi}{3} \) では、単位円上の点は \( \left(-\frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \)。よって
x 座標が負になるので cos が負、y 座標は正なので sin は正です。角度を単位円で考えると、各象限での符号が自然に決まります。
| 記号 | 意味（単位円） |
|---|---|
| \( \sin\theta \) | 単位円上の点 P の y 座標 |
| \( \cos\theta \) | 単位円上の点 P の x 座標 |
| \( \tan\theta \) | 原点→P の直線の傾き \( y/x \) |
単位円で定義することで、鋭角に限らず任意の角度に三角関数を拡張できます。
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