\( 0 \leq \theta < 2\pi \) のとき、\( \sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = 1 \) を解け。
左辺は sin と cos の1次結合なので直接解けません。合成で \( R\sin(\theta+\varphi) \) にまとめると、\( R\sin(\theta+\varphi) = 1 \) という基本方程式に帰着します。
次の図で、合成後のグラフ \( y = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) \) と水平線 \( y = 1 \) の交点から解が読める様子を確認しましょう。
交点の θ 座標が方程式の解です。
step 1：左辺を合成する
\( \cos\varphi = \frac{1}{2},\ \sin\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2} \) より \( \varphi = \frac{\pi}{3} \)。
step 2：基本方程式を解く
step 3：\( \theta + \frac{\pi}{3} \) の範囲を確認する
\( 0 \leq \theta < 2\pi \) より \( \frac{\pi}{3} \leq \theta + \frac{\pi}{3} < \frac{7\pi}{3} \)。
この範囲で \( \sin = \frac{1}{2} \) を満たす角を探します。
答え： \( \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{11\pi}{6} \)
\( \theta + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} \) が範囲外なので、対応する \( \theta = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} \) は \( [0, 2\pi) \) の外です。このような解を誤って採用しないために、\( \theta + \varphi \) の範囲を先に書いてから解を絞り込む手順が必要です。
\( \theta = \frac{\pi}{2} \)：\( \sin\frac{\pi}{2} + \sqrt{3}\cos\frac{\pi}{2} = 1 + 0 = 1 \) ✓
\( \theta = \frac{11\pi}{6} \)：\( \sin\frac{11\pi}{6} + \sqrt{3}\cos\frac{11\pi}{6} = -\frac{1}{2} + \sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 1 \) ✓
合成を使う三角方程式の解法手順：
「範囲を先に書いてから解を絞る」ことが解の過不足を防ぎます。
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