置換を使う三角方程式

問題

$ 0 \leq \theta < 2\pi $ のとき、$ 2\cos^2\theta - \cos\theta - 1 = 0 $ を解け。

なぜ置換するか

左辺は $ \cos\theta $ の二次多項式です。$ t = \cos\theta $ と置くと $ 2t^2 - t - 1 = 0 $ という二次方程式になり、因数分解で解けます。

次の図で、t の値（t = 1 と t = -1/2）に対応する θ を cos グラフから読む様子を確認しましょう。

y=cosθ のグラフで t=1 の解 θ=0 と t=-1/2 の解 θ=2π/3, 4π/3 を示す図

cos グラフ上の交点の θ 座標がそれぞれの解です。

問題の解き方

step 1：$ t = \cos\theta $ と置く（定義域を確認）

$ -1 \leq \cos\theta \leq 1 $ なので $ t $ の範囲は $ -1 \leq t \leq 1 $。

step 2：二次方程式を解く

$$ 2t^2 - t - 1 = (t-1)(2t+1) = 0 $$ $$ t = 1 \quad \text{または} \quad t = -\frac{1}{2} $$

どちらも $ -1 \leq t \leq 1 $ を満たします（採用）。

step 3：$ \cos\theta $ の値から $ \theta $ を求める

$ \cos\theta = 1 $：$ 0 \leq \theta < 2\pi $ で $ \theta = 0 $

$ \cos\theta = -\frac{1}{2} $：$ 0 \leq \theta < 2\pi $ で $ \theta = \frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3} $

答え： $ \theta = 0,\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3} $

なぜ定義域のチェックが必要か

二次方程式の解が $ t = 2 $ などになった場合、$ \cos\theta = 2 $ を満たす実数 $ \theta $ は存在しないため棄却しなければなりません。置換後に $ -1 \leq t \leq 1 $ の確認を忘れると余分な解（または解なし）を見落とす恐れがあります。

確認

$ \theta = 0 $：$ 2\cdot 1 - 1 - 1 = 0 $ ✓

$ \theta = \frac{2\pi}{3} $：$ \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} $ なので $ 2\cdot\frac{1}{4} - \left(-\frac{1}{2}\right) - 1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1 = 0 $ ✓

$ \theta = \frac{4\pi}{3} $：同じく $ \cos\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} $ なので同様 ✓

まとめ

置換を使う三角方程式の解法手順：

$ t = \sin\theta $（または $ t = \cos\theta $）と置く
$ t $ の定義域（$ -1 \leq t \leq 1 $）を書く
t についての方程式（多くは二次）を解く
解が定義域を満たすか確認（満たさないものは棄却）
採用した t の値から θ を求める

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