\( 0 \leq \theta < 2\pi \) のとき、次の方程式を解け。
(1) \( \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \) (2) \( \cos\theta = -\frac{1}{2} \)
三角方程式を解くとは「sin（または cos）グラフに水平線を引いて交点の θ を読む」操作です。図で確認します。
次の図で、左は \( \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \) の解、右は \( \cos\theta = -\frac{1}{2} \) の解を示しています。
グラフと水平線の交点が解です。どちらも \( [0, 2\pi) \) に2つの解があります。
sin の場合（\( \sin\theta = k \)）：
sin グラフは \( \theta = \frac{\pi}{2} \) を対称軸とする山型です。水平線 \( y = k \)（\( -1 < k < 1 \)）はこの山に左右2か所で交わります。
cos の場合（\( \cos\theta = k \)）：
cos グラフは \( \theta = 0 \)（および \( \theta = 2\pi \)）を対称軸とします。
(1) \( \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
基準角：\( \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) より \( \alpha = \frac{\pi}{3} \)
(2) \( \cos\theta = -\frac{1}{2} \)
基準角：\( \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \) より \( \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} \)。\( \alpha = \frac{2\pi}{3} \)
(1) \( \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) ✓、\( \sin\frac{2\pi}{3} = \sin!\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) ✓
(2) \( \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} \) ✓、\( \cos\frac{4\pi}{3} = \cos!\left(2\pi - \frac{2\pi}{3}\right) = \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} \) ✓
| 方程式 | \( [0, 2\pi) \) の解 |
|---|---|
| \( \sin\theta = k \)（\( -1 < k < 1 \)） | \( \theta = \alpha \) と \( \pi - \alpha \) |
| \( \cos\theta = k \)（\( -1 < k < 1 \)） | \( \theta = \alpha \) と \( 2\pi - \alpha \) |
グラフの対称軸（sin は \( \frac{\pi}{2} \)、cos は \( 0 \) と \( 2\pi \)）から、2つの解の組が決まります。
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