倍角公式・半角公式

問題

$ \sin\theta = \frac{2}{3} $、$ \frac{\pi}{2} < \theta < \pi $ のとき、$ \sin 2\theta $ と $ \cos 2\theta $ を求めよ。

なぜ倍角公式か

$ 2\theta $ の三角関数を $ \theta $ の三角関数で表すには、加法定理の $ \alpha = \beta = \theta $ の特殊ケースを使います。

倍角公式（加法定理から導く）：

$$ \sin 2\theta = \sin(\theta + \theta) = 2\sin\theta\cos\theta $$ $$ \cos 2\theta = \cos(\theta + \theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 1 - 2\sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 $$

$ \cos 2\theta $ は3通りの表現があります。使いやすい方を選んでください（与えられた情報が sin だけなら $ 1 - 2\sin^2\theta $、cos だけなら $ 2\cos^2\theta - 1 $）。

問題の解き方

step 1：$ \cos\theta $ を求める

$$ \cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} $$

$ \frac{\pi}{2} < \theta < \pi $（第2象限）より $ \cos\theta < 0 $。

$$ \cos\theta = -\frac{\sqrt{5}}{3} $$

step 2：$ \sin 2\theta $ を計算する

$$ \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right) = -\frac{4\sqrt{5}}{9} $$

step 3：$ \cos 2\theta $ を計算する

$ \sin\theta $ だけで表せる式を使うと、

$$ \cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta = 1 - 2 \cdot \frac{4}{9} = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9} $$

確認

$ \sin^2 2\theta + \cos^2 2\theta = \frac{80}{81} + \frac{1}{81} = \frac{81}{81} = 1 $ ✓

$ 2\theta $ の象限チェック：$ \frac{\pi}{2} < \theta < \pi $ なら $ \pi < 2\theta < 2\pi $（第3・4象限）。$ \sin 2\theta = -\frac{4\sqrt{5}}{9} < 0 $ は第3・4象限と整合 ✓。$ \cos 2\theta = \frac{1}{9} > 0 $ は第4象限と整合 ✓。

まとめ

公式	用途
$ \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta $	sin と cos が両方分かっているとき
$ \cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta $	sin だけ分かっているとき
$ \cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1 $	cos だけ分かっているとき
$ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta $	両方分かっているとき（基本形）

倍角公式は加法定理の特殊ケースなので、公式を「暗記」せずとも加法定理から導けます。

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公式	用途
\( \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta \)	sin と cos が両方分かっているとき
\( \cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta \)	sin だけ分かっているとき
\( \cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1 \)	cos だけ分かっているとき
\( \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta \)	両方分かっているとき（基本形）