加法定理

問題

次の値を求めよ。

(1) $ \sin 75° $　　(2) $ \cos 15° $　　(3) $ \tan 105° $

なぜ加法定理が必要か

75°, 15°, 105° は単位円の代表角（30°, 45°, 60°, 90°）ではないため、直接値を読めません。しかしこれらは代表角の和差（75° = 45° + 30°, 15° = 45° − 30°, 105° = 60° + 45°）として書けます。加法定理を使うと、代表角の値の組み合わせで計算できます。

加法定理（公式）：

$$ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta $$ $$ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta $$ $$ \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta} $$

重要：$ \sin(\alpha+\beta) \neq \sin\alpha + \sin\beta $。必ず「クロスの積の和差」の形になります。

問題の解き方

(1) $ \sin 75° = \sin(45° + 30°) $

$$ \sin 75° = \sin 45°\cos 30° + \cos 45°\sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} $$

(2) $ \cos 15° = \cos(45° - 30°) $

$$ \cos 15° = \cos 45°\cos 30° + \sin 45°\sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} $$

（sin 75° と同じ値になります。これは $ \cos 15° = \sin 75° $ という余角の関係から確認できます）

(3) $ \tan 105° = \tan(60° + 45°) $

$$ \tan 105° = \frac{\tan 60° + \tan 45°}{1 - \tan 60°\tan 45°} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}} $$

分子・分母に $ (1+\sqrt{3}) $ を掛けて有理化すると、

$$ = \frac{(\sqrt{3}+1)(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{1-3} = \frac{4+2\sqrt{3}}{-2} = -(2+\sqrt{3}) $$

確認

$ \sin 75° = \sin(180° - 105°) = \sin 105° $。一方 $ \sin 105° = \sin(60°+45°) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} $ を加法定理で確認できます。

まとめ

公式	構造
$ \sin(\alpha+\beta) $	sin と cos のクロス積の和
$ \cos(\alpha+\beta) $	cos どうしの積 − sin どうしの積
$ \tan(\alpha+\beta) $	tan の和 ÷（1 − tan の積）

加法定理は倍角公式（次記事）と三角関数の合成（次々記事）の出発点になります。

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公式	構造
\( \sin(\alpha+\beta) \)	sin と cos のクロス積の和
\( \cos(\alpha+\beta) \)	cos どうしの積 − sin どうしの積
\( \tan(\alpha+\beta) \)	tan の和 ÷（1 − tan の積）