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一般項と和の関係 — \( a_n = S_n - S_{n-1} \) の意味
動機: \( S_n \) が与えられたとき \( a_n \) を求めるには
通常は \( a_n \) から \( S_n \) を計算します。しかし \( S_n \) の式が先に与えられる問題では、逆に \( a_n \) を求める必要があります。そのための道具が \( a_n = S_n - S_{n-1} \) です。
公式の導出
\( n \geq 2 \) のとき:
$$
S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1} + a_n
$$
$$
S_{n-1} = a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1}
$$
差を取ると \( a_1, \ldots, a_{n-1} \) がすべて消えて：
$$
a_n = S_n - S_{n-1} \qquad (n \geq 2)
$$
なぜ \( n \geq 2 \) に限定されるか: \( S_0 \) は「0個の和」であり、普通は定義しません。\( n = 1 \) のとき \( S_{n-1} = S_0 \) が必要になるので、この公式は \( n \geq 2 \) でしか使えません。
\( n = 1 \) のとき: \( a_1 = S_1 \) で直接求める。
なぜ \( n = 1 \) の別確認が必要か
\( n \geq 2 \) の式を \( n = 1 \) に代入した値が \( a_1 = S_1 \) と一致するとは限りません。
一致する例: \( S_n = n^2 + 3n \)
- \( n \geq 2 \): \( a_n = S_n - S_{n-1} = n^2+3n - (n-1)^2-3(n-1) = 2n+2 \)
- \( n = 1 \): \( S_1 = 4 \)、公式値 \( 2(1)+2 = 4 \) ✓ → 全 \( n \geq 1 \) で \( a_n = 2n+2 \)
一致しない例: \( S_n = 2^n - 1 \)
- \( n \geq 2 \): \( a_n = 2^n - 1 - (2^{n-1} - 1) = 2^{n-1} \)
- \( n = 1 \): \( S_1 = 1 \)、公式値 \( 2^0 = 1 \) ✓ → 全 \( n \geq 1 \) で \( a_n = 2^{n-1} \)
一致しない反例: \( S_n = n^2 + n + 1 \)（実際にはこのような \( S_n \) は数列から来ない）
- \( n \geq 2 \): \( a_n = 2n \)
- \( n = 1 \): \( S_1 = 3 \) だが \( 2 \times 1 = 2 \neq 3 \) → \( n = 1 \) では公式が成立しない
この確認を省くと誤答になります。
計算例
例 1: \( S_n = n^2 + 3n \) のとき \( a_n \) を求めよ
Step 1 (\( n \geq 2 \)):
$$
a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2+3n) - \{(n-1)^2 + 3(n-1)\}
$$
$$
= n^2+3n - n^2+2n-1-3n+3 = 2n+2
$$
Step 2 (\( n = 1 \) 確認): \( S_1 = 1+3 = 4 \)、公式 \( 2(1)+2 = 4 \) ✓
よって \( a_n = 2n + 2 \)（全 \( n \geq 1 \) で成立）
例 2: \( S_n = 2^n - 1 \) のとき \( a_n \) を求めよ
Step 1 (\( n \geq 2 \)):
$$
a_n = (2^n - 1) - (2^{n-1} - 1) = 2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1}(2-1) = 2^{n-1}
$$
Step 2 (\( n = 1 \) 確認): \( S_1 = 2-1 = 1 = 2^0 \) ✓
よって \( a_n = 2^{n-1} \)（全 \( n \geq 1 \) で成立）
例 3: \( S_n = 3n^2 - n \) のとき \( a_n \) を求め等差数列か確認せよ
Step 1 (\( n \geq 2 \)):
$$
a_n = (3n^2 - n) - \{3(n-1)^2 - (n-1)\} = 3n^2 - n - 3n^2+6n-3+n-1 = 6n-4
$$
Step 2 (\( n = 1 \) 確認): \( S_1 = 3-1 = 2 \)、公式 \( 6(1)-4 = 2 \) ✓
等差数列の確認: \( a_{n+1} - a_n = 6(n+1)-4 - (6n-4) = 6 \)（定数）なので公差 \( 6 \) の等差数列。
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