\( \Sigma \) は「列の和の構造」を見る道具。基本公式は幾何的に導出できる
\( \Sigma \) は単なる記号処理ではなく「列の和の構造」を見る道具です。\( \sum_{k=1}^{n} k \) は \( 1 \) から \( n \) までの整数の和であり、これを点の三角形配置として見ると \( \frac{n(n+1)}{2} \) が視覚的に導けます。
ずらし引き法（シフト引き法）は「等差 \( \times \) 等比」型の和に有効です。\( rS \) を作って \( S \) から引くと、等差部分の「増分だけずれた等比列」が残り、再び扱いやすい形になります。
テレスコーピング（伸縮消去）は \( b_k - b_{k-1} \) の形に持ち込むと、\( \Sigma \) をとったとき中間項がすべて消えて両端だけ残るという仕組みです。部分分数分解はこのテレスコーピングを利用した手法の一つです。
\( \Sigma k \) を「三角数の個数」として幾何的に導きます。\( \Sigma k^2 \), \( \Sigma 1 \) の公式と線形性を確認します。
\( \sum k \cdot 2^{k-1} \) のような「等差 \( \times \) 等比」型をずらし引き法で計算します。テレスコーピングでは \( b_k - b_{k-1} = f(k) \) を使って \( \sum f(k) = b_n - b_0 \) を示します。
\( \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \) に分解するとテレスコーピングが使える理由を確認します。中間項の消え方を具体的に追います。