数列の和 ／ → 和の計算技法
Σ記号の見方と基本公式 — 三角数から導く
動機: 「足し算をひとまとめに書く」記法
\( 1 + 2 + 3 + \cdots + n \) を毎回書くのは面倒です。\( \Sigma \) 記号は「\( k \) を \( 1 \) から \( n \) まで動かして \( f(k) \) を足す」操作を：
$$
\sum_{k=1}^{n} f(k) = f(1) + f(2) + \cdots + f(n)
$$
と書き表します。これは記法の省略であり、計算の意味は変わりません。
線形性: なぜ各項を独立に足してよいか
$$
\sum_{k=1}^{n}(a_k + b_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k
$$
$$
\sum_{k=1}^{n} c \cdot a_k = c \sum_{k=1}^{n} a_k
$$
これは足し算の交換法則・分配法則から自明です。「\( \Sigma \) は線形演算子」とも言います。
\( \Sigma k \) の導出 — 三角数の視覚化
\( 1 + 2 + \cdots + n \) を点の三角形配置として見ます。この三角形を 2 つ並べると \( n \times (n+1) \) の長方形になるので：
$$
2 \sum_{k=1}^{n} k = n(n+1)
$$
$$
\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}
$$
これは「天下り」の公式ではなく、「2 倍すると長方形になる」という幾何的な観察から必然的に導かれます。
\( \Sigma k^2 \) の公式
$$
\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
$$
\( \Sigma 1 \) の公式
$$
\sum_{k=1}^{n} 1 = n
$$
（\( 1 \) を \( n \) 回足すだけ）
計算例
例 1: \( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}(3k^2 - 2k + 1) \) を求めよ
線形性を使って分離します：
$$
= 3\sum_{k=1}^{n}k^2 - 2\sum_{k=1}^{n}k + \sum_{k=1}^{n}1
$$
$$
= 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n
$$
$$
= \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} - n(n+1) + n
$$
$$
= n\left\{\frac{(n+1)(2n+1)}{2} - (n+1) + 1\right\}
$$
$$
= n \cdot \frac{(n+1)(2n+1) - 2(n+1) + 2}{2}
$$
$$
= n \cdot \frac{2n^2 + 3n + 1 - 2n - 2 + 2}{2} = n \cdot \frac{2n^2 + n + 1}{2}
$$
例 2: \( \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k(k+1) \) を求めよ
展開してから Σ 公式を使います：
$$
\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \sum_{k=1}^{n}(k^2 + k) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}
$$
$$
= \frac{n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+4)}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}
$$
（別解：テレスコーピングで \( b_k = k(k+1)(k+2)/3 \) の差として導出することもできます。和の計算技法 参照）
例 3: \( \displaystyle\sum_{k=1}^{10}(2k-1) \) を求めよ（奇数の和）
$$
= 2\sum_{k=1}^{10}k - \sum_{k=1}^{10}1 = 2 \cdot \frac{10 \cdot 11}{2} - 10 = 110 - 10 = 100
$$
確認: \( 1+3+5+\cdots+19 \) は初項 \( 1 \)・末項 \( 19 \)・10 項の等差数列。和 \( = 10(1+19)/2 = 100 \) ✓
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