「形を見抜いて等差・等比に帰着させる」。固定点法の本質は「何を引けば等比になるか」
漸化式は「前の項から次の項を作る規則」を記述します。解法の核心は形の認識です。
「差が一定」なら等差数列として即座に解けます。「比が一定」なら等比数列として解けます。これ以外の形は、何らかの変換によって等差・等比に帰着させます。
1 次変換型 \( a_{n+1} = pa_n + q \) は、「固定点 \( \alpha \) を引く」変換によって等比型に変わります。固定点 \( \alpha \) は「もし \( a_n = \alpha \) なら \( a_{n+1} \) も \( \alpha \) になる点」であり、\( a_{n+1} - \alpha = p(a_n - \alpha) \) が成り立つ条件から \( \alpha = p\alpha + q \) を解いて求めます。「なぜ \( \alpha \) を引くのか」—それは「定数項を消して純粋な等比型にしたいから」です。
\( a_{n+1} - a_n = f(n) \) 型は差を積み上げることで一般項を得ます。
\( a_{n+1} - a_n = d \) なら等差、\( a_{n+1} / a_n = r \) なら等比。漸化式から一般項へ至る 2 通りの見方を確認します。
\( a_{n+1} = pa_n + q \) から固定点 \( \alpha \) を求め、\( b_n = a_n - \alpha \) が等比数列になることを確認します。\( p < 0 \) の振動ケースも扱います。
差を \( k = 1 \) から \( k = n-1 \) まで足し上げると \( a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} f(k) \)（\( n \geq 2 \)）。\( n = 1 \) の別確認の必要性を確認します。