$ a_{n+1} = a_n + f(n) $ 型 — Σ で一般項を求める

動機: 差が $ n $ に依存するとき

$ a_{n+1} - a_n = 3n $ のように差が $ n $ に依存する場合、「差が一定」ではないので等差型には帰着できません。代わりに、差を縦に $ n-1 $ 個並べて足し上げる操作（差の積み上げ）を使います。

差の積み上げ

$ n \geq 2 $ のとき、次の $ n-1 $ 個の式を縦に足します：

$$ a_2 - a_1 = f(1) $$

$$ a_3 - a_2 = f(2) $$

$$ \vdots $$

$$ a_n - a_{n-1} = f(n-1) $$

左辺は中間項がすべて消えて $ a_n - a_1 $ になります。右辺は $ \sum_{k=1}^{n-1} f(k) $ です。よって：

$$ a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} f(k) \qquad (n \geq 2) $$

この式は $ n \geq 2 $ のときにしか成立しません。$ n = 1 $ のとき は $ \sum_{k=1}^{0} f(k) = 0 $（空和）なので $ a_1 + 0 = a_1 $ となり、公式を $ n = 1 $ に代入した値が $ a_1 $ と一致するかどうかを確認します。

計算例

差の積み上げ図（左）/ n=1 分岐図（右）

例 1: $ a_1 = 2 $、$ a_{n+1} - a_n = 3n $ を解け

$ n \geq 2 $ のとき:

$$ a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 3k = 2 + 3 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 2 + \frac{3n(n-1)}{2} $$

$$ = \frac{4 + 3n(n-1)}{2} = \frac{3n^2 - 3n + 4}{2} $$

$ n = 1 $ の確認: $ \frac{3-3+4}{2} = 2 = a_1 $ ✓

よって $ a_n = \frac{3n^2 - 3n + 4}{2} $（全 $ n \geq 1 $ で成立）

例 2: $ a_1 = 1 $、$ a_{n+1} - a_n = 2^n $ を解け

$ n \geq 2 $ のとき:

$$ a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k = 1 + \frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1} = 1 + 2^n - 2 = 2^n - 1 $$

$ n = 1 $ の確認: $ 2^1 - 1 = 1 = a_1 $ ✓

よって $ a_n = 2^n - 1 $（全 $ n \geq 1 $ で成立）

例 3: $ a_1 = 3 $、$ a_{n+1} = a_n + n^2 $ を解け

$ n \geq 2 $ のとき:

$$ a_n = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2 = 3 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} $$

（$ \sum_{k=1}^{m} k^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6} $ に $ m = n-1 $ を代入）

$ n = 1 $ の確認: $ 3 + \frac{0 \cdot 1 \cdot 1}{6} = 3 = a_1 $ ✓

よって $ a_n = 3 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} $（全 $ n \geq 1 $ で成立）

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\( a_{n+1} = a_n + f(n) \) 型 — Σ で一般項を求める

動機: 差が \( n \) に依存するとき

差の積み上げ

計算例

例 1: \( a_1 = 2 \)、\( a_{n+1} - a_n = 3n \) を解け

例 2: \( a_1 = 1 \)、\( a_{n+1} - a_n = 2^n \) を解け

例 3: \( a_1 = 3 \)、\( a_{n+1} = a_n + n^2 \) を解け

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