基本型漸化式 — 等差型・等比型の見抜き方

動機: 漸化式の「型の認識」が解法の出発点

漸化式を見たとき、最初にすべきことは「これはどの型か」を判断することです。「差が一定」なら等差数列、「比が一定」なら等比数列として即座に解けます。どちらでもなければ変換が必要です。

$ a_{n+1} - a_n = d $（定数）から、公差 $ d $ の等差数列と認識します。

$$ a_n = a_1 + (n-1)d $$

$ a_{n+1} / a_n = r $（定数）から、公比 $ r $ の等比数列と認識します。

$$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $$

差 $ a_{n+1} - a_n = f(n) $ が $ n $ に依存する（定数ではない）とき、等差型・等比型には直接帰着できません。差を $ n-1 $ 個足し合わせることで一般項を求めます（詳しくはΣ型漸化式の記事）。

等差フロー図（左）/ 等比フロー図（右）

$ a_{n+1} - a_n = 3 $（定数）→ 等差数列、公差 $ d = 3 $：

$$ a_n = 2 + (n-1) \times 3 = 3n - 1 $$

$ a_{n+1} / a_n = 2 $（定数）→ 等比数列、公比 $ r = 2 $：

$$ a_n = 3 \times 2^{n-1} $$

$ r = 2 \neq 1 $ なので：

$$ S_n = \frac{3(2^n - 1)}{2 - 1} = 3(2^n - 1) $$

$ a_{n+1} - a_n = 2^n $（$ n $ に依存する）→ 差を積み上げる。

$ n \geq 2 $ のとき:

$$ a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k = 1 + \frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1} = 1 + 2^n - 2 = 2^n - 1 $$

$ n = 1 $ の確認: $ 2^1 - 1 = 1 = a_1 $ ✓

よって $ a_n = 2^n - 1 $（全 $ n \geq 1 $ で成立）