「どの列として見るか」を決めれば規則が見える
階差数列: \( b_n = a_{n+1} - a_n \) が分かれば「差を積み上げると元に戻る」ことから \( a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k \) が得られます。\( a_{n+1} = a_n + f(n) \) 型漸化式の解法と同じ構造です。
群数列: 数列を規則的なグループに分けたとき、「求めたい項はどの群のどこにあるか」を 2 段階で特定します。第 1 段階は累積個数（第 \( n \) 群末項の全体番号）との比較、第 2 段階は群内の位置計算です。
\( b_n = a_{n+1} - a_n \) が等差・等比などの「扱いやすい数列」のとき、\( \Sigma b_k \) で \( a_n \) を復元します。\( n \geq 2 \) 限定の理由と \( n = 1 \) の別確認を確認します。
数列を群に分けたとき、「第 \( n \) 群末項の全体番号 \( L(n) \)」を求め、\( L(n-1) < m \leq L(n) \) となる \( n \) を特定する 2 段階分解を練習します。