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部分分数分解と階差Σ — テレスコーピングで計算する
動機: 分母が積の形のとき Σ 公式は使えない
\( \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} \) は、\( \Sigma k \) や \( \Sigma k^2 \) の公式では直接計算できません。分母が積の形のとき、部分分数分解によってテレスコーピングが使える形に変形します。
部分分数分解の原理
\( \frac{1}{k(k+1)} \) を \( \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1} \) の形にします。
分子を \( 1 \) にするためには \( (k+1) - k = 1 \) を利用します：
$$
\frac{1}{k(k+1)} = \frac{(k+1) - k}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}
$$
確認: \( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} = \frac{(k+1) - k}{k(k+1)} = \frac{1}{k(k+1)} \) ✓
この分解により、\( \Sigma \) をとったときに隣の項と消え合うテレスコーピングが機能します。
計算例
例 1: \( \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} \) を求めよ
分解してテレスコーピング：
$$
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right)
$$
$$
= \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)
$$
$$
= 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}
$$
例 2: \( \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)} \) を求めよ
分母の差は \( (k+2) - k = 2 \) なので係数 \( 1/2 \) が出ます：
$$
\frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}\right)
$$
確認: \( \frac{(k+2) - k}{2k(k+2)} = \frac{1}{k(k+2)} \) ✓
1 つおきの消去（奇数列と偶数列が別々に消える）：
$$
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}\right)
$$
奇数列: \( \frac{1}{1} - \frac{1}{n+1} \)（または \( -\frac{1}{n+2} \)）
偶数列: \( \frac{1}{2} - \frac{1}{n+2} \)（または \( -\frac{1}{n+1} \)）
どちらの場合も残るのは \( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \) の 4 項：
$$
= \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}\right) = \frac{3}{4} - \frac{1}{2(n+1)} - \frac{1}{2(n+2)}
$$
例 3: \( \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} \) を求めよ
分母の差は \( (2k+1) - (2k-1) = 2 \) なので：
$$
\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right)
$$
テレスコーピング（連続した奇数分数が消える）：
$$
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2n+1}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n}{2n+1} = \frac{n}{2n+1}
$$
理解の確認
部分分数分解ができる根拠は「分子を \( 1 \) にするために分母の差を使う」ことです。\( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \) の分子は \( (k+1) - k = 1 \) になるので、元の \( \frac{1}{k(k+1)} \) に等しくなります。係数（\( 1 \) または \( 1/2 \)）は分母の差（\( 1 \) または \( 2 \)）の逆数です。
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