群数列 — 第何群の第何番目か

動機: 「どの群のどこにあるか」を 2 段階で特定する

数列を規則的なグループに分けたとき、特定の項を見つけるには 2 つの問いに順番に答えます：

「第 $ n $ 群末項の全体番号 $ L(n) $」を求めることが鍵です。

Step 1: 第 $ n $ 群の個数を確認し、$ L(n) = \sum_{k=1}^{n}(\text{第}k\text{群の個数}) $ を求める

Step 2: $ L(n-1) < m \leq L(n) $ を満たす $ n $ を不等式で求める（$ m $ が全体番号）

Step 3: 群内位置 $ = m - L(n-1) $

群の区切り図（左）/ 2次元位置グリッド（右）

数列 \( 1

2,3

4,5,6

7,8,9,10

\cdots \) （第 $ n $ 群に $ n $ 個）

第 $ n $ 群末項の全体番号：

$$ L(n) = 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2} $$

この数列では「全体の第 $ m $ 項 $ = m $」なので：

確認（$ n=3 $）: 初項 $ = \frac{2 \cdot 3}{2} + 1 = 4 $、末項 $ = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6 $。第 3 群は $ 4, 5, 6 $ ✓

第 1 段階:

$$ L(13) = \frac{13 \times 14}{2} = 91 < 100, \quad L(14) = \frac{14 \times 15}{2} = 105 \geq 100 $$

よって第 14 群にある。

第 2 段階: 群内位置 $ = 100 - L(13) = 100 - 91 = 9 $

答え: 第 14 群の第 9 番目。

確認: 第 14 群の初項 $ = 92 $、第 9 番目 $ = 92 + 8 = 100 $ ✓

第 $ n $ 群: $ \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \ldots, \frac{n}{n} $（$ n $ 個）

第 1 段階:

$$ L(7) = \frac{7 \times 8}{2} = 28 < 30, \quad L(8) = \frac{8 \times 9}{2} = 36 \geq 30 $$

第 8 群にある。

第 2 段階: 群内位置 $ = 30 - 28 = 2 $

答え: 第 8 群の第 2 番目 $ = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $