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等比数列 — 一定の比が生む一般項と和の公式

動機: 「一定の比」という観察から始める

$ 2, 6, 18, 54, \ldots $ という数列を見たとき、隣り合う項の比が常に $ 3 $ になっています。この「比が一定」という規則をそのまま使えば、一般項と和の公式は「かけ算の積み上げ」から必然的に導けます。

等比数列の定義: $ a_{n+1} / a_n = r $（定数）を満たす数列（$ a_n \neq 0 $）。$ r $ を公比と言います。

一般項の導出

$ a_1 $ に $ r $ を毎回かけていくと：

$$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $$

$ a_1 $ から $ a_n $ へは $ r $ を $ n-1 $ 回かけるので、指数は $ n-1 $ です。

和の公式の導出 — ずらし引きの発想

$ S_n = a_1 + a_1 r + a_1 r^2 + \cdots + a_1 r^{n-1} $ に $ r $ をかけると：

$$ rS_n = a_1 r + a_1 r^2 + \cdots + a_1 r^{n-1} + a_1 r^n $$

$ S_n - rS_n $ を計算すると中間項がすべて消えて：

$$ (1-r)S_n = a_1 - a_1 r^n = a_1(1 - r^n) $$

$ r \neq 1 $ のとき: $ 1 - r \neq 0 $ なので両辺を $ 1-r $ で割れる：

$$ S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r} $$

$ r = 1 $ のとき: $ (1-r)S_n = 0 $ という恒等式になって $ S_n $ が求まらない。$ r=1 $ のときは各項が $ a_1 $ に等しいので直接：

$$ S_n = na_1 $$

この 2 ケース分けは 省略してはいけない。$ r = 1 $ を代入した公式は意味をなしません。

計算例

等比数列の棒グラフ（左）/ ずらし引きの対比（右）

例 1: $ a_1 = 2 $、公比 $ r = 3 $ のとき $ a_5 $ と $ S_5 $ を求めよ

$ a_5 = 2 \times 3^4 = 2 \times 81 = 162 $

$ r = 3 \neq 1 $ なので：

$$ S_5 = \frac{2(1 - 3^5)}{1 - 3} = \frac{2(1 - 243)}{-2} = \frac{2 \times (-242)}{-2} = 242 $$

例 2: $ a_2 = 6 $、$ a_5 = 48 $ のとき公比・一般項を求めよ

$ a_5 = a_2 \cdot r^3 $ なので $ r^3 = 48 / 6 = 8 $ より $ r = 2 $。

$ a_1 = a_2 / r = 6 / 2 = 3 $。

一般項: $ a_n = 3 \times 2^{n-1} $

例 3: $ a_1 = 1 $、公比 $ r = -2 $ のとき $ S_n $ を求めよ

$ r = -2 \neq 1 $ なので：

$$ S_n = \frac{1 \cdot (1 - (-2)^n)}{1 - (-2)} = \frac{1 - (-2)^n}{3} $$

$ n $ が偶数のとき: $ (-2)^n = 2^n > 0 $ なので $ S_n = \frac{1 - 2^n}{3} < 0 $

$ n $ が奇数のとき: $ (-2)^n = -2^n < 0 $ なので $ S_n = \frac{1 + 2^n}{3} > 0 $

符号が交互に変わる「振動」が起きています。

理解の確認

$ r = 1 $ と $ r \neq 1 $ の 2 ケース分けが必要な理由は「ずらし引きで $ (1-r) $ で割るとき $ r = 1 $ なら分母がゼロになるから」です。等差数列と等比数列の本質的な違いは「加算の積み上げ」か「乗算の積み上げ」かです。

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