階差数列 — $ a_n $ を Σ で復元する

動機: 差を見れば元の数列が分かる

$ 1, 3, 7, 13, 21, \ldots $ という数列では、各項の差を計算すると $ 2, 4, 6, 8, \ldots $ という等差数列になります。この「差の列」（階差数列）が等差・等比などの扱いやすい形なら、Σ 積み上げで元の数列の一般項を求めることができます。

階差数列の定義: $ b_n = a_{n+1} - a_n $（$ n = 1, 2, 3, \ldots $）

復元の仕組み ($ n \geq 2 $):

$$ a_n - a_1 = (a_2 - a_1) + (a_3 - a_2) + \cdots + (a_n - a_{n-1}) = \sum_{k=1}^{n-1} b_k $$

$$ a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k \qquad (n \geq 2) $$

なぜ $ n \geq 2 $ 限定か: 和の上限が $ n-1 $ なので $ n = 1 $ のとき上限が $ 0 $（空和 $ = 0 $）になり、$ a_1 + 0 = a_1 $ が成立するかどうかは代入して確認が必要です。

階差テーブル（左）/ n=1 の確認（右）

Step 1: 階差数列を求める:

$ b_n = 2, 4, 6, 8, \ldots $ → 公差 $ 2 $ の等差数列 → $ b_n = 2n $

Step 2 ($ n \geq 2 $):

$$ a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 1 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 1 + n(n-1) = n^2 - n + 1 $$

Step 3 ($ n = 1 $ 確認): $ 1^2 - 1 + 1 = 1 = a_1 $ ✓

よって $ a_n = n^2 - n + 1 $（全 $ n \geq 1 $ で成立）

Step 1 ($ n \geq 2 $):

$$ a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^k $$

等比数列の和（初項 $ 3 $、公比 $ 3 $、項数 $ n-1 $）：

$$ = 2 + \frac{3(3^{n-1}-1)}{3-1} = 2 + \frac{3^n - 3}{2} = \frac{4 + 3^n - 3}{2} = \frac{3^n + 1}{2} $$

Step 2 ($ n = 1 $ 確認): $ \frac{3+1}{2} = 2 = a_1 $ ✓

よって $ a_n = \frac{3^n + 1}{2} $（全 $ n \geq 1 $ で成立）

Step 1: 第 1 階差 $ b_n = 4, 6, 8, 10, \ldots $ → $ b_n = 2n + 2 $

Step 2 ($ n \geq 2 $):

$$ a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1}(2k+2) = 2 + n(n-1) + 2(n-1) = n^2 + n = n(n+1) $$

Step 3 ($ n = 1 $ 確認): $ 1 \times 2 = 2 = a_1 $ ✓

第 2 階差の確認: $ b_{n+1} - b_n = 2(n+1)+2 - (2n+2) = 2 $（定数）✓