「一定の差」と「一定の比」という2つの観察から、一般項と和の公式が必然として導ける
等差数列の本質は「毎回 \( d \) だけ加える」という繰り返し操作にあります。\( a_1 \) から出発して \( d \) を \( n-1 \) 回加えると \( a_n = a_1 + (n-1)d \) が得られ、これは「規則を積み上げた結果」です。和の公式は、前から足した列と後ろから足した列を重ねると「全部 \( a_1 + a_n \) になる」という発見（台形面積）から導けます。
等比数列は「毎回 \( r \) を掛ける」操作の積み上げです。和の公式では「\( rS_n \) を作って \( S_n \) から引く（ずらし引き）」という操作が核心であり、\( r = 1 \) のときはこの引き算が恒等式 \( 0 = 0 \) になって使えないので、2ケース分けが必要になります。
一般項と和の関係 \( a_n = S_n - S_{n-1} \) は \( S_n \) の定義から自動的に成り立つ等式ですが、\( n \geq 2 \) のときしか意味を持ちません（\( S_0 \) は定義されないため）。\( n = 1 \) は \( a_1 = S_1 \) で別に確認する必要があります。
\( a_{n+1} - a_n = d \)（一定）という定義から出発し、一般項 \( a_n = a_1 + (n-1)d \) を「\( d \) を \( n-1 \) 回積み上げた結果」として導きます。和の公式は「台形面積」として視覚的に理解します。
\( a_{n+1}/a_n = r \)（一定）という定義から出発し、一般項と和の公式を導きます。\( r = 1 \) と \( r \neq 1 \) の 2 ケース分けが必要な理由、\( r < 0 \) のときの振動を確認します。
\( S_n \) から \( a_n \) を求める方法を学びます。この公式が \( n \geq 2 \) 限定であること、\( n = 1 \) を \( a_1 = S_1 \) で別確認しないと誤りになる理由を、反例とともに確認します。
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