\( 3, 7, 11, 15, \ldots \) という数列を見たとき、何に気づくでしょうか。隣り合う項の差が常に \( 4 \) になっています。この「差が一定」という規則をそのまま使えば、一般項と和の公式は「計算の積み上げ」から必然的に導けます。
等差数列の定義: \( a_{n+1} - a_n = d \)（定数）を満たす数列。\( d \) を公差と言います。
\( a_1 \) から出発して \( d \) を毎回加えていくと：
\( a_1 \) から \( a_n \) に到達するには \( d \) を \( n-1 \) 回加えるので、
この公式は「天下り」ではなく、「\( d \) を \( n-1 \) 歩積み上げた結果」です。
\( S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n \) を 2 通りの順で書きます：
縦に足すと、第 \( k \) 列の和がすべて \( a_1 + a_n \) になります。\( n \) 列あるので：
\( a_n = a_1 + (n-1)d \) を代入すると：
台形面積との対応: 台形の面積 \( = \) （上底 \( + \) 下底）\( \times \) 高さ \( / 2 \) に対応します。「上底 \( = a_1 \)、下底 \( = a_n \)、高さ \( = n \)」と読むと、和の公式の幾何的な意味が見えます。
Step 1: \( a_{10} = 3 + (10-1) \times 4 = 3 + 36 = 39 \)
Step 2: \( S_{10} = \frac{10(3 + 39)}{2} = \frac{10 \times 42}{2} = 210 \)
Step 1: \( a_7 - a_3 = 4d \) なので \( d = \frac{27 - 11}{4} = 4 \)
Step 2: \( a_1 = a_3 - 2d = 11 - 8 = 3 \)
Step 3: \( a_n = 3 + (n-1) \times 4 = 4n - 1 \)
Step 4: \( S_n = \frac{n(3 + 4n - 1)}{2} = \frac{n(4n + 2)}{2} = n(2n+1) \)
Step 1 (\( n \geq 2 \)): \( a_n = S_n - S_{n-1} = (3n^2 + 2n) - {3(n-1)^2 + 2(n-1)} \)
\( = 3n^2 + 2n - 3n^2 + 6n - 3 - 2n + 2 = 6n - 1 \)
Step 2 (\( n = 1 \) 確認): \( a_1 = S_1 = 3 + 2 = 5 \)。公式: \( 6 \times 1 - 1 = 5 \) ✓
Step 3: \( a_1 = 5 \)、\( d = a_2 - a_1 = 11 - 5 = 6 \)。よって \( a_n = 6n - 1 \)。
等差数列の一般項の公式で \( n-1 \) 回 \( d \) を加える理由は「\( a_1 \) から \( a_n \) へは \( n-1 \) ステップあるから」です。\( n \) 回加えてしまうと \( a_{n+1} \) になってしまいます。和の公式では「前向き順 \( + \) 後ろ向き順」で各列が \( a_1 + a_n \) になることが鍵です。
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