対数の性質 — 積・商・累乗と底の変換公式

3つの公式

$ a > 0,\ a \neq 1,\ M > 0,\ N > 0 $ のとき、次の3つの公式が成り立ちます。

$$ \log_a MN = \log_a M + \log_a N \quad \text{（積の公式）} $$

$$ \log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N \quad \text{（商の公式）} $$

$$ \log_a M^k = k \log_a M \quad \text{（累乗の公式）} $$

$ p = \log_a M,\ q = \log_a N $ とおきます。対数の定義から

$$ M = a^p, \quad N = a^q $$

です。したがって

$$ MN = a^p \cdot a^q = a^{p+q} $$

対数の定義に戻ると $ \log_a MN = p + q = \log_a M + \log_a N $ が得られます。

証明の核心: 対数は指数の言い換えなので、対数の和 = 指数の和 = 積の指数、という流れが成り立ちます。

同じく $ p = \log_a M,\ q = \log_a N $ とおくと

$$ \frac{M}{N} = \frac{a^p}{a^q} = a^{p-q} $$

ゆえに $ \log_a \frac{M}{N} = p - q = \log_a M - \log_a N $。

累乗については $ M = a^p $ より

$$ M^k = (a^p)^k = a^{kp} $$

ゆえに $ \log_a M^k = kp = k\log_a M $。

いずれも 指数法則 $ a^m \cdot a^n = a^{m+n},\ (a^m)^n = a^{mn} $ がそのまま対数の公式に対応しています。

異なる底の対数を計算するとき、共通の底に変換する公式があります。

$ a > 0,\ a \neq 1,\ b > 0,\ c > 0,\ c \neq 1 $ のとき

$$ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} $$

導出: $ \log_a b = t $ とおくと $ b = a^t $。両辺の底 $ c $ の対数を取ると

$$ \log_c b = t \log_c a $$

$ \log_c a \neq 0 $ で割ると $ t = \frac{\log_c b}{\log_c a} $ が得られます。

$ \log_4 32 $ のように底と真数が異なる累乗の基底で表される場合、底を統一すると計算が単純になります。

$ \log_4 32 $ を底 2 に変換する:

$$ \log_4 32 = \frac{\log_2 32}{\log_2 4} = \frac{5}{2} $$

$ \log_2 3 \cdot \log_3 8 $ を計算する:

$$ \log_2 3 \cdot \log_3 8 = \log_2 3 \cdot \frac{\log_2 8}{\log_2 3} = \log_2 8 = 3 $$

この形（$ \log_a b \cdot \log_b c = \log_a c $）は底の変換公式から導かれる連鎖公式です。

3公式も底の変換公式も、すべて次の条件が必要です:

いずれも 指数法則の対数版です。証明は「$ \log_a M = p $ とおくと $ M = a^p $」という定義に戻ることで成り立ちます。

この単元の解説PDFを無料で配布しています。対数方程式・不等式の例題を中心に、真数条件の確認・底をそろえる手順・不等号の向きの判断まで、模範解答と意味説明を2段組で並べた構成で確認できます。