\( a > 0,\ a \neq 1 \) のとき、\( x \) を変数とする
の形の関数を対数関数といいます。定義域が \( x > 0 \) に限られる理由は次のセクションで確認します。
\( y = a^x \) の式で \( x \) と \( y \) を入れ替えると \( x = a^y \) になります。これを \( y \) について解くと
です。つまり \( y = a^x \) と \( y = \log_a x \) は逆関数の関係にあります。逆関数のグラフは \( y = x \) を対称軸として互いに対称になります。
\( y = 2^x \) と \( y = \log_2 x \) のグラフは \( y = x \) を境に対称な形をしています。
このことから、
と、定義域と値域が入れ替わります。定義域が \( x > 0 \) に限られるのは、\( y = a^x \) の値域が \( y > 0 \) だったことの裏返しです。
\( y = \log_2 x \) を例に確認します。
\( y = \log_{1/2} x \) を例に確認します。
| 指数関数 \( y = a^x \) | 対数関数 \( y = \log_a x \) | |
|---|---|---|
| 定義域 | 全実数 | \( x > 0 \) |
| 値域 | \( y > 0 \) | 全実数 |
| 漸近線 | \( y = 0 \)（x 軸） | \( x = 0 \)（y 軸） |
| 通過点 | \( (0,\ 1) \) | \( (1,\ 0) \) |
逆関数の関係から、指数関数と対数関数の性質が対称に入れ替わっていることが分かります。
対数関数 \( y = \log_a x \) と指数関数 \( y = a^x \) は逆関数の関係にあり、グラフは \( y = x \) を軸として対称です。
| \( a > 1 \) のとき | \( 0 < a < 1 \) のとき | |
|---|---|---|
| 増減 | 単調増加 | 単調減少 |
| \( x \to 0^+ \) | \( y \to -\infty \) | \( y \to +\infty \) |
| \( x \to +\infty \) | \( y \to +\infty \) | \( y \to -\infty \) |
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