\( \log_a M \) が定義されるためには真数 \( M > 0 \) が必要です。したがって方程式・不等式を解く前に、必ず真数条件を確認しなければなりません。
| 確認すること | 内容 |
|---|---|
| 真数 \( > 0 \) | 負や 0 では対数が定義されない |
| 底 \( a > 0,\ a \neq 1 \) | 底の条件は問題文で与えられていることが多い |
求めた解が真数条件を満たさない場合は除外します。真数条件の確認を後回しにすると、定義されない点を解として採用してしまう誤りが起きます。
基本方針： 底をそろえ、対数をはずして真数の方程式を解く。
真数条件を先に確認する。
\( x - 2 > 0 \) かつ \( x + 4 > 0 \) より \( x > 2 \)。
積の公式で左辺をまとめる。
\( \log_3 N = 3 \) は \( N = 3^3 = 27 \) を意味するから
\( x = -7 \) または \( x = 5 \)。真数条件 \( x > 2 \) と照合すると \( x = -7 \) は除外される。
対数不等式では底の値が不等号の向きを決めます。グラフを先に確認しましょう。
左（\( a = 2 > 1 \)：単調増加）
\( y = \log_2 x \) は \( x \) が大きいほど \( y \) も大きくなります。したがって \( y \) の大小関係は \( x \) の大小関係と同じ向きです。
\( \log_2 x > \log_2 2 \) ならば \( x > 2 \)（シェーディング部分が解の範囲）。
右（\( a = \tfrac{1}{2},\ 0 < a < 1 \)：単調減少）
\( y = \log_{1/2} x \) は \( x \) が大きいほど \( y \) が小さくなります。したがって \( y \) の大小関係は \( x \) の大小関係と逆向きです。
\( \log_{1/2} x > \log_{1/2} 3 \) ならば \( x < 3 \)（シェーディング部分が解の範囲）。
\( \log_a f(x) > \log_a g(x) \) を解く手順：
\( \log_a f(x) > \log_a g(x) \) を解く手順：
真数条件：\( x - 1 > 0 \) かつ \( 3 - x > 0 \) より \( 1 < x < 3 \)。
底 \( 2 > 1 \) より単調増加。不等号の向きはそのまま。
真数条件 \( 1 < x < 3 \) との共通部分：
| \( a > 1 \)（単調増加） | \( 0 < a < 1 \)（単調減少） | |
|---|---|---|
| \( \log_a f(x) > \log_a g(x) \) | \( f(x) > g(x) \) | \( f(x) < g(x) \) |
| 不等号の向き | そのまま | 逆転 |
手順：（1）真数条件を確認 → （2）底の値で不等号の向きを判断 → （3）真数の方程式・不等式を解く → （4）真数条件との共通部分を取る。
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