対数とは何か — 指数方程式の解に名前をつける

動機：$ a^x = M $ を解きたい

指数計算では、$ 2^3 = 8 $ のように「底と指数から答えを求める」ことに慣れています。しかし逆に「答えから指数を求める」問い、つまり

$$ 2^x = 8 $$

を解くとき、$ x = 3 $ とすぐわかります。しかし

$$ 2^x = 5 $$

となると、$ x $ がどんな値になるかはすぐには読み取れません。

この「$ a $ の何乗が $ M $ になるか」という問いの答えに名前をつけたのが対数です。

$ a > 0,\ a \neq 1,\ M > 0 $ のとき、

$$ a^p = M \iff p = \log_a M $$

と定義します。左辺と右辺は同じことを言い換えているだけです。「$ a $ を底とする $ M $ の対数」と読みます。

$ a > 0 $（底は正）

底が負だと、$ a^x $ が実数にならない場合があります（たとえば $ (-2)^{1/2} $ は実数ではありません）。対数を実数の範囲で扱うために底は正に限定します。

$ a \neq 1 $（底は 1 以外）

$ 1^x = 1 $ はどんな $ x $ に対しても常に $ 1 $ です。$ a = 1 $ とすると $ a^x = M $ が $ M \neq 1 $ のときに解を持ちません。また $ M = 1 $ のときはすべての $ x $ が解になってしまい、対数の値が一意に定まりません。

$ M > 0 $（真数は正）

$ a > 0,\ a \neq 1 $ のとき、$ a^x $ は任意の実数 $ x $ に対して常に正です。したがって $ a^x = M $ が実数解を持つのは $ M > 0 $ のときだけです。$ M \leq 0 $ では対数が定義できません。

定義 $ a^p = M \iff p = \log_a M $ を使うと、以下の基本的な値が読み取れます。

$ a^p = M $ と $ p = \log_a M $ は同じ関係を別の変数について表しています。指数の式を「$ M $ について解いたのが指数関数」、「$ p $ について解いたのが対数」と考えることができます。

この対応が、対数関数 $ y = \log_a x $ と指数関数 $ y = a^x $ の逆関数としての関係につながります。グラフ上でどう表れるかは次の記事で確認します。

この単元の解説PDFを無料で配布しています。対数方程式・不等式の例題を中心に、真数条件の確認・底をそろえる手順・不等号の向きの判断まで、模範解答と意味説明を2段組で並べた構成で確認できます。