定積分の性質 — 区間加法性と偶関数・奇関数

区間加法性

積分区間は任意の点 $ b $ で分割・合算できます。

$$ \int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx $$

これを区間加法性と言います。$ b $ は $ a $ と $ c $ の間にある必要はなく、区間の外にあっても成立します（負符号で吸収されます）。

幾何的な意味: 面積を区間で分けて合算したり、大きな区間を小さな区間に分解したりできます。

計算例: $ \int_0^3 f(x)\,dx = \int_0^1 f(x)\,dx + \int_1^3 f(x)\,dx $

$ f(-x) = f(x) $ を満たす関数を偶関数と言います（$ y $ 軸対称）。

偶関数では、$ -a \leq x \leq a $ での積分が $ 0 \leq x \leq a $ の 2 倍になります。

$$ \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx $$

なぜか: グラフが $ y $ 軸対称なので、$ -a \leq x \leq 0 $ での面積と $ 0 \leq x \leq a $ での面積が等しいからです。

計算例: $ \int_{-2}^{2} x^2\,dx $

$ f(x) = x^2 $ は偶関数（$ (-x)^2 = x^2 $）なので、

$$ \int_{-2}^{2} x^2\,dx = 2\int_0^2 x^2\,dx = 2\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = 2 \cdot \frac{8}{3} = \frac{16}{3} $$

確かめ（直接計算）: $ \left[\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} = \frac{8}{3} - \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{16}{3} $ ✓

$ f(-x) = -f(x) $ を満たす関数を奇関数と言います（原点対称）。

奇関数では、$ -a \leq x \leq a $ での積分がゼロになります。

$$ \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0 $$

なぜか: グラフが原点対称なので、$ -a \leq x \leq 0 $ での符号付き面積と $ 0 \leq x \leq a $ での符号付き面積が打ち消し合うからです。

計算例: $ \int_{-1}^{1} x^3\,dx $

$ f(x) = x^3 $ は奇関数（$ (-x)^3 = -x^3 $）なので、

$$ \int_{-1}^{1} x^3\,dx = 0 $$

確かめ（直接計算）: $ \left[\frac{x^4}{4}\right]_{-1}^{1} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0 $ ✓

活用のポイント: $ -a \leq x \leq a $ の積分では、まず被積分関数が偶関数・奇関数かを確認すると計算を大幅に省略できます。

区間加法性（左）/ 偶関数・奇関数の対称性（右）

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