定積分の計算 — F(b)−F(a) で求める

微積分の基本定理

$ f(x) $ の原始関数を $ F(x) $ とするとき、定積分は次の式で計算できます。

$$ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) $$

これを微積分の基本定理と言います。不定積分（関数の族）と定積分（数値）を結びつける中心的な定理です。

なぜどの原始関数を使ってもよいか: $ F(x) + C $ も原始関数ですが、

$$ [F(x) + C]_a^b = (F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a) $$

となり、$ C $ は相殺されます。したがって積分定数はどの値を選んでも結果に影響しません。計算の際は $ C = 0 $ として最も簡単な原始関数を使うのが普通です。

計算記法: $ [F(x)]_a^b $

$ F(b) - F(a) $ を次の記法で表します。

$$ [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) $$

手順をまとめると:

$ f(x) $ の原始関数 $ F(x) $ を求める（積分定数は省略）
$ [F(x)]_a^b $ を計算する
$ F(b) - F(a) $ を整理する

計算例: $ \int_0^2 (3x^2 - 2x + 1)\,dx $

Step 1: 原始関数を求める。

$$ F(x) = x^3 - x^2 + x $$

Step 2: $ [F(x)]_0^2 $ を計算する。

$$ [x^3 - x^2 + x]_0^2 = (8 - 4 + 2) - (0 - 0 + 0) = 6 $$

答え: $ \int_0^2(3x^2 - 2x + 1)\,dx = 6 $

符号付き面積の意味

$ f(x) < 0 $ の区間では、定積分の値は負になります。

例: $ \int_{-1}^{1} x\,dx $

$$ \int_{-1}^{1} x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 $$

$ y = x $ のグラフを見ると、$ -1 \leq x \leq 0 $ では $ x $ 軸の下にある（負の面積 $ -\frac{1}{2} $）、$ 0 \leq x \leq 1 $ では $ x $ 軸の上にある（正の面積 $ \frac{1}{2} $）。符号の異なる 2 つの面積が打ち消し合って 0 になります。

重要: 定積分の値 $ 0 $ は面積 $ 0 $ を意味しません。面積を正確に求めるには区間分割が必要です（詳しくは「積分と面積」単元で扱います）。