F(b)−F(a) の一手で数値が確定する — 微積分の基本定理
不定積分が「関数の族」を返すのに対し、定積分は積分区間の両端 \( a, b \) を指定して一つの数値を返します。
微積分の基本定理は、定積分とその数値の計算法を結びつける中心的な定理です。
ここで \( F \) は \( f \) の任意の原始関数です。積分定数 \( C \) は \( F(b)+C \) と \( F(a)+C \) の差をとると相殺されるため、どの原始関数を選んでも同じ結果になります。
定積分の値は幾何学的には \( y = f(x) \) と \( x \) 軸の間の符号付き面積を表します。\( f(x) > 0 \) の区間では正の面積として、\( f(x) < 0 \) の区間では負の面積として加算されます。この「符号付き」という点が、定積分と面積の計算で区間分割が必要になる理由です。
\( [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) \) という記法を使って定積分を計算します。積分定数 \( C \) が相殺される理由を確認したうえで、\( \int_0^2 (3x^2 - 2x + 1)\,dx \) を例に計算手順を練習します。
\( \int_a^c f\,dx = \int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx \) という区間加法性と、偶関数・奇関数の対称性を使って計算を省力化する方法を解説します。
上端が \( a \) のような文字のとき、計算結果が \( a \) の式になります。その式を条件方程式に使って \( a \) を求める問題や、係数に文字が含まれる場合の整理法を練習します。
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