定積分 \( \int_a^b f(x)\,dx \) は \( f(x) \) が \( x \) 軸の下（\( f(x) < 0 \)）にある区間では負の値を返します。「面積」は常に 0 以上の量ですから、\( f(x) \) が \( x \) 軸をまたぐ場合、単純に定積分を計算しても面積にはなりません。
具体例で確認: \( \int_{-1}^{2}(x^2 - 1)\,dx \) を計算すると
しかしグラフを見ると、\( y = x^2 - 1 \) は \( x \) 軸と \( x = \pm 1 \) で交わり、\( -1 \leq x \leq 1 \) では \( x \) 軸の下にあります。面積がゼロのはずはなく、この \( 0 \) は「正の面積と負の面積が打ち消し合った結果」です。
Step 1: \( f(x) = 0 \) を解いて \( x \) 軸との交点を求める。
Step 2: 各区間で \( f(x) \) の符号を確認する。
Step 3: 各区間の定積分を計算し、\( f(x) < 0 \) の区間では絶対値を取る（符号を反転）。
Step 4: 各区間の結果を合算する。
Step 1: 交点を求める。
Step 2: 符号の確認。
Step 3: 各区間を計算する。
\( -1 \leq x \leq 1 \) での定積分:
| \( f < 0 \) なので絶対値: \( \left | -\frac{4}{3}\right | = \frac{4}{3} \) |
\( 1 \leq x \leq 2 \) での定積分:
\( f \geq 0 \) なのでそのまま: \( \frac{4}{3} \)
Step 4: 合算する。
答え: \( S = \frac{8}{3} \)
区間分割なしで計算した \( 0 \) とは大きく異なります。これが区間分割が必須である理由です。
これが面積の正確な定義です。\( f(x) \) の符号が途中で変わらない区間では絶対値を外して直接積分でき、符号が変わる点（\( x \) 軸との交点）で区間を分割してから各区間を計算・合算します。
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