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面積公式 — 1/6公式
適用条件
1/6 公式は次の条件を満たすときに使えます。
- 被積分関数が \( (x - \alpha)(x - \beta) \) の形（または定数倍）に因数分解できる
- 積分区間がちょうど \( [\alpha,\,\beta] \)（2 つの因子の零点に一致）
この条件を満たすときは、毎回展開して積分する手間を省いて計算できます。
1/6 公式の導出
\( l = \beta - \alpha \) とおいて \( t = x - \alpha \) と置き換えます（\( dx = dt \)、\( x = \alpha \) で \( t = 0 \)、\( x = \beta \) で \( t = l \)）。
$$
\int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta)\,dx = \int_0^l t(t - l)\,dt = \int_0^l (t^2 - lt)\,dt
$$
$$
= \left[\frac{t^3}{3} - \frac{lt^2}{2}\right]_0^l = \frac{l^3}{3} - \frac{l^3}{2} = l^3\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right) = -\frac{l^3}{6}
$$
$$
= -\frac{(\beta - \alpha)^3}{6}
$$
面積はこの絶対値ですから、
$$
\int_\alpha^\beta |(x-\alpha)(x-\beta)|\,dx = \frac{(\beta-\alpha)^3}{6}
$$
これが 1/6 公式です。
公式の適用例: \( y = x^2 - 3x + 2 \) と \( x \) 軸の間の面積
Step 1: 因数分解する。
$$
x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)
$$
Step 2: \( \alpha = 1, \beta = 2 \) を公式に代入する。
$$
S = \frac{(\beta - \alpha)^3}{6} = \frac{(2-1)^3}{6} = \frac{1}{6}
$$
答え: \( S = \frac{1}{6} \)
確かめ（直接計算）:
$$
\int_1^2(x^2-3x+2)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x\right]_1^2
= \left(\frac{8}{3}-6+4\right)-\left(\frac{1}{3}-\frac{3}{2}+2\right)
= \frac{2}{3} - \frac{5}{6} = -\frac{1}{6}
$$
| 面積 \( = \left |
-\frac{1}{6}\right |
= \frac{1}{6} \) ✓ |
2曲線への拡張 — \( a(x-\alpha)(x-\beta) \) 型
\( f(x) - g(x) = a(x-\alpha)(x-\beta) \) と因数分解できるとき（\( a \neq 0 \)）、
$$
S = \int_\alpha^\beta |f(x) - g(x)|\,dx = |a| \cdot \frac{(\beta-\alpha)^3}{6}
$$
例: \( y = x^2 \) と \( y = x + 2 \) の間の面積
\( f(x) - g(x) = x^2 - (x+2) = x^2 - x - 2 = (x+1)(x-2) \)
\( \alpha = -1,\; \beta = 2,\; a = 1 \) なので、
$$
S = 1 \cdot \frac{(2-(-1))^3}{6} = \frac{3^3}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}
$$
前の記事で展開計算した答え \( \frac{9}{2} \) と一致します ✓
1/6 公式が使えない場合
1/6 公式は「積分区間の両端が因子の零点に一致する」場合にのみ使えます。以下の場合は直接計算が必要です。
- 積分区間が \( [\alpha, \beta] \) 全体でなく一部だけの場合
- \( f(x) - g(x) \) が 3 次以上で、1 次式 2 つの積に因数分解できない場合
- 区間内で上下の入れ替わりがあり、複数区間に分割した後それぞれが異なる公式を必要とする場合
もっと練習したい方へ
1/6 公式・\( a(x-\alpha)(x-\beta) \) 型・適用条件の確認を含む問題を収録した解説 PDF を無料で配布しています。
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