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2曲線の間の面積 — 上下判定と交点での区間分割
2曲線の間の面積の公式
2 つの曲線 \( y = f(x) \) と \( y = g(x) \) の間の面積は
$$
S = \int_\alpha^\beta |f(x) - g(x)|\,dx
$$
で与えられます。ここで \( \alpha, \beta \) は 2 曲線の交点の \( x \) 座標です。
\( f(x) \geq g(x) \) が区間全体で成り立つ場合は絶対値を外せて、
$$
S = \int_\alpha^\beta (f(x) - g(x))\,dx
$$
となります。区間内で上下が入れ替わる場合は、入れ替わる点で区間を分割する必要があります。
4 ステップ手順
Step 1: \( f(x) = g(x) \) を解いて交点の \( x \) 座標 \( \alpha, \beta \) を求める。
Step 2: 各区間で上の曲線（\( f - g \) の符号）を確認する。
Step 3: 上下が逆転する点で区間を分割する。
Step 4: \( \int(\text{上} - \text{下})\,dx \) を各区間で計算して合算する。
例 1: \( y = x + 2 \) と \( y = x^2 \) の間の面積
Step 1: 交点を求める。
$$
x^2 = x + 2 \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies (x-2)(x+1) = 0
$$
$$
\implies x = -1,\quad x = 2
$$
Step 2: 上下の確認（\( x = 0 \) で確認）。
$$
f(0) = 0 + 2 = 2,\quad g(0) = 0^2 = 0
$$
\( -1 \leq x \leq 2 \) では \( y = x + 2 \) が上。
Step 3: 区間分割は不要（上下の入れ替わりなし）。
Step 4: 面積を計算する。
$$
S = \int_{-1}^{2}\bigl((x+2) - x^2\bigr)\,dx = \int_{-1}^{2}(-x^2+x+2)\,dx
$$
$$
= \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x\right]_{-1}^{2}
$$
\( x = 2 \) での値: \( -\frac{8}{3} + 2 + 4 = -\frac{8}{3} + 6 = \frac{10}{3} \)
\( x = -1 \) での値: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} - \frac{12}{6} = -\frac{7}{6} \)
$$
S = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}
$$
答え: \( S = \frac{9}{2} \)
例 2: \( y = x^3 \) と \( y = x \) の間の面積（\( -1 \leq x \leq 1 \)）
Step 1: 交点を求める。
$$
x^3 = x \implies x(x^2 - 1) = 0 \implies x = -1,\; 0,\; 1
$$
Step 2: 各区間での上下確認。
- \( -1 \leq x \leq 0 \): \( x = -\frac{1}{2} \) で \( x^3 - x = -\frac{1}{8} - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{8} > 0 \) → \( y = x^3 \) が上
- \( 0 \leq x \leq 1 \): \( x = \frac{1}{2} \) で \( x^3 - x = \frac{1}{8} - \frac{1}{2} = -\frac{3}{8} < 0 \) → \( y = x \) が上
Step 3: \( x = 0 \) で区間を分割。
Step 4: 対称性（グラフが原点対称）を使う。
$$
S = 2\int_0^1 (x - x^3)\,dx = 2\left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4}\right]_0^1 = 2\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}
$$
答え: \( S = \frac{1}{2} \)
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