指数関数の平行移動と対称移動

元のグラフを確認する

$ a > 0,\ a \neq 1 $ のとき、$ y = a^x $ のグラフは次の性質を持ちます。

グラフの詳細は指数関数のグラフで確認できます。このページでは、このグラフを動かす操作（平行移動・対称移動）を見ていきます。

$ y = a^x $ のグラフを平行移動すると次の式になります。

x 軸方向に $ p $ だけ移動

$$ y = a^{x-p} $$

$ p > 0 $ なら右、$ p < 0 $ なら左に移動します。

例：$ y = 2^{x-1} $ は $ y = 2^x $ を右に 1 だけ移動したグラフ。

y 軸方向に $ q $ だけ移動

$$ y = a^x + q $$

$ q > 0 $ なら上、$ q < 0 $ なら下に移動します。y 方向に移動すると、漸近線も $ y = 0 $ から $ y = q $ に変わります。

例：$ y = 2^x + 1 $ は $ y = 2^x $ を上に 1 だけ移動したグラフ（漸近線は $ y = 1 $）。

両方向への移動

$$ y = a^{x-p} + q $$

x 方向に $ p $、y 方向に $ q $ だけ移動したグラフ。漸近線は $ y = q $。

y 軸対称

$ y = a^x $ を y 軸に関して対称移動するには、$ x $ を $ -x $ に置き換えます。

$$ y = a^{-x} $$

この式には重要な見方があります。

$$ a^{-x} = \left(\frac{1}{a}\right)^x $$

つまり $ y = a^{-x} $ は、底を逆数にした $ y = \left(\frac{1}{a}\right)^x $ と同じグラフです。

例：$ y = 2^{-x} = \left(\frac{1}{2}\right)^x $

$ a > 1 $ の底を持つ指数関数 $ y = a^x $ の y 軸対称は、$ 0 < \frac{1}{a} < 1 $ の底を持つ右下がりのグラフになります。増減が入れ替わるのは、底の逆数をとることで $ a > 1 $ と $ 0 < a < 1 $ が入れ替わるためです。

指数関数の平行移動と対称移動

左のグラフ：平行移動の例。$ y = 2^{x-1} $ は右に 1、$ y = 2^x + 1 $ は上に 1 移動したグラフです（漸近線が $ y = 1 $ に変わっています）。

右のグラフ：y 軸対称。$ y = 2^{-x} $ と $ y = \left(\frac{1}{2}\right)^x $ は同じ曲線で、$ y = 2^x $ と y 軸について対称な形になっています。

補足：x 軸対称・原点対称

$ y = a^{-x} $ は底を $ \frac{1}{a} $ にした指数関数と同じグラフです。$ a > 1 $ のとき $ 0 < \frac{1}{a} < 1 $ になるため、$ y $ 軸対称で増減が入れ替わります。

この単元の解説PDFを無料で配布しています。指数方程式・不等式の例題を中心に、底をそろえる手順・不等号の向きの判断まで、模範解答と意味説明を2段組で並べた構成で確認できます。