\( x \) を変数、\( a \) を正の定数（\( a > 0 \)、\( a \neq 1 \)）としたとき、
の形の関数を指数関数といいます。\( a \) を底と呼びます。
なぜ \( a = 1 \) を除くのか
\( a = 1 \) のとき、\( y = 1^x = 1 \) となり、\( x \) の値によらず常に \( y = 1 \) になります。これは定数関数であり、指数が変化しても値が変わらないため、指数関数として扱う意味がありません。
\( a \) の値が \( 1 \) より大きいか小さいかで、グラフの増減が変わります。次の図で2つのケースを確認しましょう。
\( y = 2^x \) を例にとります。
\( y = \left(\frac{1}{2}\right)^x \) を例にとります。
なお、\( \left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x} \) なので、\( y = (1/2)^x \) のグラフは \( y = 2^x \) のグラフを \( y \) 軸に関して対称移動したものです。
底 \( a \) の値が \( 1 \) より大きくても小さくても、以下の性質は共通です。
常に \( y > 0 \)
\( a^x \) は正の数の累乗なので、\( x \) がどんな値をとっても \( y > 0 \) になります。グラフは \( x \) 軸より常に上にあります。
\( x = 0 \) で \( y = 1 \)
\( a^0 = 1 \) はすべての底で成り立ちます。グラフは必ず点 \( (0, 1) \) を通ります。
漸近線 \( y = 0 \)
グラフは \( x \) 軸（\( y = 0 \)）に限りなく近づきますが、交わることはありません。\( y = 0 \) をグラフの漸近線といいます。
底 \( a \) の値によってグラフの増減が決まります。
| \( a > 1 \) | \( 0 < a < 1 \) | |
|---|---|---|
| 増減 | 単調増加（右上がり） | 単調減少（右下がり） |
| \( x \to +\infty \) | \( y \to +\infty \) | \( y \to 0 \) |
| \( x \to -\infty \) | \( y \to 0 \) | \( y \to +\infty \) |
底の値によらず共通する性質：常に \( y > 0 \)、点 \( (0,\ 1) \) を通る、漸近線 \( y = 0 \)。
底の値で増減が逆転するこの性質は、指数方程式・不等式で不等号の向きを判断するときに直接使います。
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